Question

7．如圖所示，傾角為45⁰的軌道AB和水平軌道BC在四處用一小段光滑圓弧軌道平滑連接，水平軌道上D點(diǎn)的正上方有一探測(cè)器，探測(cè)器只能探測(cè)處于其正下方的物體．一小物塊自傾斜軌道AB上離水平軌道BC高h(yuǎn)處由靜止釋放，以小物塊運(yùn)動(dòng)到B處的時(shí)刻為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，探測(cè)器只在t=2s～5s內(nèi)工作．已知小物塊與傾斜軌道AB和水平軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.5和μ₂=0.1．BD段長(zhǎng)為L(zhǎng)=8m，重力加速度g=10m/s²，為使探測(cè)器在工作時(shí)間內(nèi)能探測(cè)到小物塊，求h的取值范圍．

Answer 1

分析 小球速度最大時(shí)從B運(yùn)動(dòng)到D所需時(shí)間短，當(dāng)小球到達(dá)D剛好靜止時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，據(jù)此由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得小球在B點(diǎn)的速度范圍，再由此分析小球在斜面上下落的高度范圍．

解答 解：設(shè)物塊沿傾斜軌道AB運(yùn)動(dòng)的加速度為a₁，由牛頓第二定律有：
mgsin45°-μ₁mgcos45°=ma₁     ①
設(shè)物塊到達(dá)B處的速度為v_B，由速度位移關(guān)系有：
${v}_{B}^{2}=2{a}_{1}\frac{h}{sin45°}$     ②
物塊在水平軌道BC上做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為：a₂=μ₂g     ③
（1）設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，這種情況下v_B最小，物塊在水平軌道BC上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，則：
${v}_{B}=\sqrt{2{a}_{2}L}=\sqrt{2×0.1×10×8}m/s=4m/s$     ④
又：${t}_{1}=\frac{{v}_{B}}{{a}_{2}}=4s$       ⑤
當(dāng)物塊在t₁=4s時(shí)到達(dá)D點(diǎn)，聯(lián)立①②④解得：h₁=1.6m     ⑥
（2）當(dāng)物塊在t₂=2s到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，L=${v}_{B}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$    ⑦
聯(lián)立①②③⑥解得：h₂=2.5m
為使探測(cè)器在工作時(shí)間內(nèi)能探測(cè)到小物塊，h的取值范圍為1.6m≤h≤2.5m．
答：h的取值范圍為1.6m≤h≤2.5m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式由工作時(shí)間的范圍求得物體在B點(diǎn)速度大小的范圍，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求得物體運(yùn)動(dòng)的加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得h的取值．正確的受力分析求解加速度，熟悉的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)是正確解題的關(guān)鍵．