Question

16．一轉(zhuǎn)動(dòng)裝置如圖所示，四根輕桿OA、OC、AB和CB與兩小球以及一小環(huán)通過鉸鏈連接，輕桿長均為l，球和環(huán)的質(zhì)量均為m，O端固定在豎直的輕質(zhì)轉(zhuǎn)軸上，套在轉(zhuǎn)軸上的輕質(zhì)彈簧連接在O與小環(huán)之間，原長為L，裝置靜止時(shí)，彈簧長為$\frac{3}{2}$L，轉(zhuǎn)動(dòng)該裝置并緩慢增大轉(zhuǎn)速，小環(huán)緩慢上升．彈簧始終在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k；
（2）AB桿中彈力為零時(shí)，裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₀．

Answer 1

分析 （1）裝置靜止時(shí)，分別對小環(huán)和小球分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡，結(jié)合胡克定律求出彈簧的勁度系數(shù)；
（2）當(dāng)AB桿彈力為零時(shí)，對小環(huán)分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡和胡克定律求出彈簧的長度，對小球分析，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₀．

解答 解：（1）裝置靜止時(shí)，設(shè)OA、AB桿中的彈力分別為F₁、T₁，OA桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為θ₁．
小環(huán)受到彈簧的彈力${F_{彈1}}=k•\frac{L}{2}$，
小環(huán)受力平衡：F_彈1=mg+2T₁cosθ₁，
小球受力平衡：F₁cosθ₁+T₁cosθ₁-mg=0；F₁sinθ₁-T₁sinθ₁=0，
解得：$k=\frac{4mg}{L}$
（2）設(shè)OA、AB桿中的彈力分別為F₂、T₂，OA桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為θ₂，彈簧長度為x．
小環(huán)受到彈簧的彈力：F_彈2=k（x-L）
小環(huán)受力平衡：F_彈2=mg，
得：$x=\frac{5}{4}L$
對小球：F₂cosθ₂=mg； 
${F_2}sin{θ_2}=mω_0^2lsin{θ_2}$；
$cosθ{\;}_2=\frac{x}{2l}$
解得：${ω_0}=\sqrt{\frac{8g}{5L}}$
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)k為$\frac{4mg}{L}$；
（2）AB桿中彈力為零時(shí)，裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₀為$\sqrt{\frac{8g}{5L}}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、共點(diǎn)力平衡和胡克定律的運(yùn)用，當(dāng)裝置轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，抓住小環(huán)平衡，小球在豎直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解．