Question

4．同重力場作用下的物體具有重力勢能一樣，萬有引力場作用下的物體同樣具有引力勢能，宇宙中有一個質(zhì)量為M、半徑為R的星球，若取無窮遠引力勢能為零，質(zhì)量為m的物體距星球球心距離為r時的引力勢能為E_p=-G$\frac{Mm}{r}$（G為引力常量），宇航員在該星球上以初速度v₀拋出一個物體，不計空氣阻力，下列分析正確的是（　�。�

• A． 若初速度豎直向上，且物體上升高度遠小于星球半徑，則物體返回到拋出點的時間為$\frac{{R}^{2}{v}_{0}}{GM}$
• B． 若初速度豎直向上，且物體上升高度大于星球半徑，則物體上升的最大高度為$\frac{{R}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2GM}$
• C． 若初速度沿水平方向，要使物體將不再落回星球表面，則v₀≥$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
• D． 若物體能運動到距離星球無窮遠處而脫離星球的束縛，則v₀≥$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力得出星球表面重力加速度，若上升的高度遠小于星球的半徑，則重力加速度可以認為不變，結(jié)合速度時間公式求出豎直上拋運動的時間，若物體上升的高度大于星球的半徑，結(jié)合機械能守恒求出物體上升的最大高度．
若初速度水平，結(jié)合萬有引力提供向心力得出發(fā)射物體的最小速度，從而得出速度的范圍．根據(jù)機械能守恒求出物體脫離星球的束縛的速度范圍．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，星球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，則物體拋出到返回拋出點的時間t=$2×\frac{{v}_{0}}{g}=\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{GM}$，故A錯誤．
B、若初速度豎直向上，物體上升的高度大于星球的半徑，根據(jù)機械能守恒有：$-G\frac{Mm}{{R}^{2}}+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$，可知h≠$\frac{{R}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2GM}$，故B錯誤．
C、若初速度沿水平方向，要使物體將不再落回星球表面，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，可知${v}_{0}≥\sqrt{\frac{GM}{R}}$，故C正確．
D、若物體能運動到距離星球無窮遠處而脫離星球的束縛，根據(jù)機械能守恒有：$-G\frac{Mm}{{R}^{2}}+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=0$，解得${v}_{0}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，則v₀≥$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，故D正確．
故選：CD．

點評 本題考查了萬有引力定律與機械能守恒、運動學(xué)公式的綜合運用，注意物體上升的高度大于星球半徑時，不能運用速度位移公式求出上升的高度，因為重力加速度已經(jīng)發(fā)生變化，需通過機械能守恒進行求解．