Question

如圖甲所示，半徑為r的金屬圓環(huán)水平放置，三條電阻均為R的導體棒Oa、Ob、和Oc互成120角連接在圓心O和圓環(huán)上，圓環(huán)繞經(jīng)過圓心O的豎直金屬轉軸以大小為ω的角速度按圖中箭頭方向勻速轉動．一方向豎直向下的勻強磁場區(qū)與圓環(huán)所在平面相交，相交區(qū)域為如圖虛線的菱形（頂角為60的那個頂點位于O處、其它三個頂點在圓環(huán)外）．C為水平放置的平行板電容器，通過固定的電刷P和Q連接在圓環(huán)和金屬轉軸上，電容器極板長為L，兩極板的間距為d．現(xiàn)使一細電子束沿兩板間的中線以大小為v_O（v_O=）的初速度連續(xù)不斷地射入電容器C．
（1）設磁感應強度為B，以導體棒Ob開始進入磁場為計時起點．請在乙圖坐標中畫出電刷P和Q間電壓U與時間t的關系圖象（至少畫出圓環(huán)轉動一周的圖象）
（2）已知電子電荷量為e，質量為m．忽略圓環(huán)的電阻、電容器的充放電時間及電子所受重力和阻力．欲使射入的電子全部都能通過電容器C，則勻強磁場的磁感應強度B的大小應滿足什么條件？

Answer 1

【答案】分析：（1）當三根金屬棒中有一根切割磁感產(chǎn)生感應電動勢時，相當于電源，另外兩根棒并聯(lián)相當外電路，根據(jù)E=ω求出感應電動勢，由歐姆定律即可得到電刷P和Q間電壓U的表達式．從導體棒Ob開始進入磁場為計時起點，在一個周期內(nèi)，電刷P和Q間有電壓和無電壓間隔出現(xiàn)，可作出U-t圖象．
（2）電子進入電容器C后，某一導體棒也開始進入磁場，電子電子做類平拋運動，在水平方向不受電場力而做勻速直線運動，在豎直方向受到電場力而做勻加速運動；在沒有電場的時間內(nèi)豎直方向做勻速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式結合求出電子在豎直方向的最大位移y，要使射入的電子全部都能通過電容器C，必須滿足的條件是y≤，聯(lián)立可求出磁感應強度B的大�。�
解答：解：（1）導體棒切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢大小為
  E=ω
通過此棒的電流為  I==
棒兩端的電壓為 U=I
聯(lián)立以上三式得  U=Bωr²
圓環(huán)轉動的周期為 T=
則電刷P和Q間電壓U與時間t的關系圖象如圖所示．
（2）電子在平行板電容器中運動的時間
     t===
所以，當電子開始進入平行板電容器中時，某一導體棒也開始進入磁場，這個電子在平行板電容器中運動的第一個和第三個時間內(nèi)豎直方向受到電場力而做勻加速運動；第二個時間內(nèi)豎直方向不受電場力而做勻速運動，這個電子在豎直方向上的位移最大．用y表示豎直位移
第一個時間內(nèi)    =
第二個時間內(nèi)    y₂=2y₁
第三個時間內(nèi) y₃=3y₁
豎直方向上的最大位移  y=y₁+y₂+y₃=
要使射入的電子全部都能通過電容器C，必須滿足y≤
解得       B≤
答：
（1）電刷P和Q間電壓U與時間t的關系圖象如圖所示．
（2）勻強磁場的磁感應強度B的大小應滿足的條件是：B≤．
點評：本題是電磁感應與電路、電場知識的綜合，關鍵是根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求出電子在豎直方向的最大位移y，可以運用v_y-t圖象分析電子在豎直方向的運動情況，便于理解．