Question

10．現(xiàn)要通過實驗驗證機械能守恒定律．實驗裝置如圖1所示：水平桌面上固定一傾斜的氣墊導軌；導軌上A點處有一帶長方形遮光片的滑塊，其總質(zhì)量為M，左端由跨過輕質(zhì)光滑定滑輪的細繩與一質(zhì)量為m的砝碼相連；遮光片兩條長邊與導軌垂直；導軌上的B點有一光電門，可以測量遮光片經(jīng)過光電門時的擋光時間t．用d表示A點到導軌底端C點的距離，h表示A與C的高度差，b表示遮光片的寬度，x表示A、B兩點間的距離，將遮光片通過光電門的平均速度看作滑塊通過B點時的瞬時速度．用g表示重力加速度．完成下列填空和作圖：

（1）若將滑塊自A點由靜止釋放，則在滑塊從A運動至B的過程中，滑塊、遮光片與砝碼組成的系統(tǒng)重力勢能的減小量可表示為$\frac{（Mh-md）gx}m05bzcm$，動能的增加量可表示為$\frac{（m+M）^{2}}{2{t}^{2}}$．若在運動過程中機械能守恒，$\frac{1}{{t}^{2}}$與x的關(guān)系式為$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d^{2}}x$．
（2）多次改變光電門的位置，每次均令滑塊自同一點（A點）下滑，測量相應的x與t值．結(jié)果如下表所示：

	1	2	3	4	5
x/（m）	0.600	0.800	1.000	1.200	1.400
t/（ms）	8.22	7.17	6.44	5.85	5.43
$\frac{1}{{t}^{2}}$/（×104 s-2）	1.48	1.95	2.41	2.92	3.39

以x為橫坐標，$\frac{1}{{t}^{2}}$為縱坐標，在圖2位置的坐標紙中描出第1和第5個數(shù)據(jù)點；根據(jù)5個數(shù)據(jù)點作直線，求得該直線的斜率k=2.40×10⁴ m^-1•s^-2（保留三位有效數(shù)字）．
（3）由測得的h、d、b、M和m數(shù)值可以計算出$\frac{1}{{t}^{2}}$-x直線的斜率k₀，將k和k₀進行比較，若其差值在實驗允許的范圍內(nèi)，則可認為此實驗驗證了機械能守恒定律．

Answer 1

分析 本題的關(guān)鍵是滑塊和砝碼組成的系統(tǒng)機械能守恒，在求系統(tǒng)減少的重力勢能時注意砝碼的重力勢能增加了mgs，滑塊和砝碼的速度大小相等，可求出系統(tǒng)增加的動能，然后根據(jù)機械能守恒可得出$\frac{1}{{t}^{2}}$與s的關(guān)系式，再討論即可，根據(jù)變量的數(shù)據(jù)作出圖象，結(jié)合數(shù)學知識求出斜率．

解答 解：（1）當滑塊運動到B點時下降高度設為h′，此時砝碼上升的高度為x，由幾何關(guān)系可知h′=$\frac{hx}xdl0hfd$，故系統(tǒng)減少的重力勢能為：
△E_p=Mgh′-mgx=$\frac{（Mh-md）gx}495gwxk$．
由于系統(tǒng)從靜止開始運動，運動至B點時的速度v_B=$\frac{t}$，故動能的增加量為：
△E_k=$\frac{1}{2}$（M+m）v${\;}_{B}^{2}$=$\frac{（m+M）^{2}}{2{t}^{2}}$．
由△E_p=△E_k
可解得：$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d^{2}}x$
（2）描點及作直線見圖．在圖中直線上取相距較遠的兩點，讀出兩點坐標，由k=$\frac{△（\frac{1}{{t}^{2}}）}{△x}$可得：
k=2.40×10⁴ m^-1•s^-2．
（3）由測得的h、d、b、M和m數(shù)值可以計算出$\frac{1}{{t}^{2}}$-x直線的斜率k_o=$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d^{2}}$
比較k與k_o，若其差值在試驗允許的范圍內(nèi)，則可認為此試驗驗證了機械能守恒定律．
故答案為：（1）$\frac{（Mh-md）gx}hbtwzcq$，$\frac{（m+M）^{2}}{2{t}^{2}}$，$\frac{2（Mh-md）g}{（M+m）d^{2}}x$；（2）2.40

點評 求解實驗題的關(guān)鍵是正確利用物理規(guī)律列出方程，然后再求解即可，注意本實驗屬于滑塊和砝碼組成的系統(tǒng)的機械能守恒；求斜率時要注意單位和有效數(shù)字的保留．