Question

3．某同學利用如圖裝置探究均勻規(guī)則定滑輪的轉動動能：長為L傾角30°的光滑斜面固定在桌角，質量為2m的小物體A與質量為m_B的小物體B用長輕繩繞過半徑R的定滑輪連接，A與滑輪之間的繩子與斜面平行．將A從斜面頂端靜止釋放，測得到達斜面底端時的速度v．減小定滑輪質量M（不改變大小尺寸）重復實驗，得到多組v和M的值如表格所示．已知L、g、m、R，不計滑輪轉軸處摩擦，繩與滑輪不打滑．

M	$\frac{1}{{v}^{2}}$
m	$\frac{30}{10gL}$
0.8m	$\frac{29}{10gL}$
0.6m	$\frac{28}{10gL}$
0.4m	$\frac{27}{10gL}$
0.2m	$\frac{26}{10gL}$

（1）作出$\frac{1}{v^2}$-M圖線；
（2）對圖象做合理推廣，據(jù)此求出m_B；
（3）若滑輪質量為m，以角速度ω轉動時，寫出它的動能表達式（用m、R、ω表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，運用描點法作圖．
（2）根據(jù)圖象的截距和斜率的意義，求出滑輪質量不計時的速度，再根據(jù)機械能守恒定律求m_B．
（3）根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒求出A到達斜面底端時的速度，再得到滑輪的動能表達式．

解答 解：（1）作出$\frac{1}{v^2}$-M圖線如圖所示．
（2）圖象的截距為$\frac{25}{10gL}$，它表示滑輪不計質量時，速度平方的倒數(shù)，即
  $\frac{1}{{v}^{2}}$=$\frac{25}{10gL}$
所以當滑輪的質量不計時，v=$\sqrt{\frac{10gL}{25}}$
考慮A在斜面上的運動，并不計滑輪質量，有
  2mg$\frac{L}{2}$-m_BhL=$\frac{1}{2}（2m+{m}_{B}）{v}^{2}$
所以 m_B=0.5m
（3）當滑輪質量為m時，$\frac{1}{{v}^{2}}$=$\frac{30}{10gL}$，即 v=$\sqrt{\frac{10gL}{30}}$
設A到達斜面底端時速度為v，此時滑輪動能為E_k．則根據(jù)機械能守恒定律得
  2mg$\frac{L}{2}$-（$\frac{1}{2}$m）hL=$\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$+E_k；
所以 E_k=$\frac{1}{2}m$gL-$\frac{5}{4}m{v}^{2}$=$\frac{1}{4}m{v}^{2}$
而 v=Rω
解得 E_k=$\frac{1}{4}$mR²ω²．
答：
（1）作出$\frac{1}{v^2}$-M圖線如圖所示；
（2）對圖象做合理推廣，得到m_B為0.5m；
（3）若滑輪質量為m，以角速度ω轉動時，它的動能表達式為E_k=$\frac{1}{4}$mR²ω²．

點評 解決本題的關鍵要把握圖象的信息，抓住截距和斜率的意義，合理進行外推，并結合機械能守恒定律研究．