Question

如圖所示，半徑R=0.2m的光滑四分之一圓軌道MN豎直固定放置，末端N與一長(zhǎng)L=0.8m的水平傳送帶相切，水平銜接部分摩擦不計(jì)，傳動(dòng)輪（輪半徑很小）作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)傳送帶以恒定的速度ν₀運(yùn)動(dòng)．傳送帶離地面的高度h=1.25m，其右側(cè)地面上有一直徑D=0.5m的圓形洞，洞口最左端的A點(diǎn)離傳送帶右端的水平距離S=1m，B點(diǎn)在洞口的最右端．現(xiàn)使質(zhì)量為m=0.5kg的小物塊從M點(diǎn)由靜止開始釋放，經(jīng)過(guò)傳送帶后做平拋運(yùn)動(dòng)，最終落入洞中，傳送帶與小物塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5． g取10m/s²．求：
（1）小物塊到達(dá)圓軌道末端N時(shí)對(duì)軌道的壓力
（2）若ν₀=3m/s，求物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
（3）若要使小物塊能落入洞中，求ν₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

（1）設(shè)物塊滑到圓軌道末端速度ν₁，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mgR=

1

2

mv12
設(shè)物塊在軌道末端所受支持力的大小為F，
根據(jù)牛頓第二定律得：F-mg=m

v12

R

聯(lián)立以上兩式代入數(shù)據(jù)得：F=15N        
根據(jù)牛頓第三定律，對(duì)軌道壓力大小為15N，方向豎直向下   
（2）物塊在傳送帶上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由μmg=ma，得a=μg=5m/s²
加速到與傳送帶達(dá)到同速所需要的時(shí)間t1=

v0-v1

a

=0.2s    
位移s1=

v1+v0

2

t₁=0.5m  
勻速時(shí)間t2=

L-s1

v0

=0.1s   
故T=t₁+t₂=0.3s  
（3）物塊由傳送帶右端平拋h=

1

2

gt2
恰好落到A點(diǎn)   s=v₂t         得ν₂=2m/s    
恰好落到B點(diǎn)   D+s=ν₃t         得ν₃=3m/s     
故ν₀應(yīng)滿足的條件是3m/s＞ν₀＞2m/s         
答：（1）小物塊到達(dá)圓軌道末端N時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為15N，方向豎直向下；
（2）若ν₀=3m/s，求物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為0.3s；
（3）若要使小物塊能落入洞中，ν₀應(yīng)滿足的條件為3m/s＞ν₀＞2m/s．