Question

6．一般的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，即把整條曲線(xiàn)用一系列不同半徑的小圓弧來(lái)代替．如圖所示，曲線(xiàn)上的A點(diǎn)曲率圓定義為：通過(guò)A點(diǎn)和曲線(xiàn)上緊鄰A點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)作一圓，在極限情況下，這個(gè)圓就叫做A點(diǎn)的曲率圓，其半徑ρ叫做A點(diǎn)的曲率半徑．在傾角為θ的斜面頂部，以初速度v₀水平拋出一質(zhì)量為m的小球，求：
（1）小球與斜面相距最遠(yuǎn)時(shí)速度的大小？
（2）此最遠(yuǎn)點(diǎn)處的曲率半徑ρ？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)速度與斜面平行時(shí)，距離斜面最遠(yuǎn)，結(jié)合平行四邊形定則求出小球與斜面相距最遠(yuǎn)時(shí)速度的大�。�
（2）根據(jù)平行四邊形定則求出重力沿圓心方向的分力，結(jié)合向心力公式求出在最遠(yuǎn)處的曲率半徑．

解答 解：（1）分析題意可知相距最遠(yuǎn)時(shí)，速度v與斜面平行，分解v有：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$；
（2）由于速度v與該處曲線(xiàn)相切，該處曲線(xiàn)又與該處曲率圓重合，因此速度v與該處曲率圓也相切．所以指向圓心的向心力是重力沿圓心方向的分力：mgcosθ，
由$mgcosθ=m\frac{{v}^{2}}{ρ}$及v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$得：ρ=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{gco{s}^{3}θ}$．
答：（1）小球與斜面相距最遠(yuǎn)時(shí)速度的大小為$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$；
（2）此最遠(yuǎn)點(diǎn)處的曲率半徑為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{gco{s}^{3}θ}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵能夠從題干中獲取有用的信息，比如曲率半徑，知道速度方向與斜面平行時(shí)，距離斜面最遠(yuǎn)．