Question

16．如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線AC長(zhǎng)l=0.5m，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平距離和豎直距離相等，（重力加速度g取10m/s²，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）．
（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₁時(shí)，細(xì)線AB上的張力為0而細(xì)線AC與豎直方向的夾角仍為37°，求角速度ω₁的大�。�
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{100}{3}}$rad/s，求細(xì)線AC與豎直方向的夾角和細(xì)線AB的張力．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)細(xì)線AB上的張力為0時(shí)，小球的重力和細(xì)線AC張力的合力提供小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）當(dāng)${ω}_{2}=\sqrt{\frac{100}{3}}rad/s$時(shí)，小球應(yīng)該向左上方擺起，假設(shè)細(xì)線AB上的張力仍然為0，根據(jù)牛頓第二定律求出細(xì)線AC與豎直方向的夾角．

解答 解：（1）當(dāng)細(xì)線AB上的張力為0時(shí)，小球的重力和細(xì)線AC張力的合力提供小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有：$mgtan37°=m{{ω}_{1}}^{2}lsin37°$，
解得${ω}_{1}=\sqrt{\frac{g}{lcos37°}}=\sqrt{\frac{10}{0.5×0.8}}$rad/s=5rad/s．
（2）當(dāng)${ω}_{2}=\sqrt{\frac{100}{3}}rad/s$時(shí)，小球應(yīng)該向左上方擺起，假設(shè)細(xì)線AB上的張力仍然為0，則：$mgtanθ′=m{{ω}_{2}}^{2}lsinθ′$，
解得$cosθ′=\frac{3}{5}$，θ′=53°．
因?yàn)锽點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等，所以，當(dāng)θ′=53°時(shí)，細(xì)線AB恰好豎直，且$\frac{m{ω}^{2}lsin53°}{mg}=\frac{4}{5}=tan53°$．
說明細(xì)線AB此時(shí)張力恰好為0，故此時(shí)細(xì)線AC與豎直方向的夾角為53°．
答：（1）角速度ω₁的大小為5rad/s．
（2）細(xì)線AC與豎直方向的夾角為53°，細(xì)線AB的張力為0．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解，在第二問中，要知道小球的角速度大于第一問中的角速度，小球?qū)⑾蜃笊戏綌[起．