Question

3．如圖所示，一光滑軌道由水平軌道和圓弧形軌道構成，放在豎直平面內，圓弧形軌道半徑分別為R和2R，在水平軌道上有A、B兩物體，A、B中間隔有一輕彈簧，用細線連接A、B并使輕彈簧處于壓縮狀態(tài)．若剪斷細線，A、B兩物體能分別運動到左右兩圓弧形軌道的最高點，且對軌道壓力都為零．若不計任何摩擦，則A、B兩物體的質量m_A和m_B之比為$\sqrt{2}$：1．

Answer 1

分析 能到達半圓形軌道最高點的臨界條件是v≥$\sqrt{gr}$，恰好能通過最高點說明在最高點重力完全提供向心力，系統(tǒng)滿足動量守恒，據(jù)此求解即可．

解答 解：相互作用的系統(tǒng)滿足動量守恒，以A的速度方向為正方向，得：
m_Av_A-m_Bv_B=0
最高點：對軌道的壓力為0，所以根據(jù)牛頓第二定律：
A：m_Ag=$\frac{{{m}_{A}v}_{1}^{2}}{R}$
B：m_Bg=$\frac{{{m}_{B}v}_{2}^{2}}{2R}$
根據(jù)動能定理有：
$\frac{{{m}_{A}v}_{A}^{2}}{2}$-$\frac{{{m}_{A}v}_{1}^{2}}{2}$=2m_AgR
$\frac{{{m}_{B}v}_{B}^{2}}{2}$-$\frac{{{m}_{B}v}_{2}^{2}}{2}$=4m_BgR
聯(lián)立解得m_A：m_B=$\sqrt{2}$：1
故答案為：$\sqrt{2}$：1，

點評 小球剛好到達圓管形軌道最高點的條件是：到達最高點時速度為零；應用牛頓第二定律、動量守恒定律即可正確解題．