Question

12．如圖所示為一玻璃球的截面圖，其半徑為R，O為球體的球心，AB為截面圓的直徑．在A點(diǎn)放一個(gè)能發(fā)某種單色光的點(diǎn)光源，照射球體內(nèi)各個(gè)方向，只有部分光能從球體中射出，在此截面上，只有圓弧NBN′上有光射出，NN′連線垂直AB．已知從M點(diǎn)折射出的光線恰好平行AB，AM與AB的夾角為θ，求N、N′兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 由幾何知識(shí)求出光線從M點(diǎn)折射時(shí)的入射角和折射角，求出折射率．光線AN恰好在N點(diǎn)發(fā)生全反射，∠ANO為臨界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角C．運(yùn)用幾何知識(shí)求解N、N′兩點(diǎn)間的距離．

解答 解：設(shè)光線AM在M點(diǎn)發(fā)生折射對(duì)應(yīng)的入射角為i，折射角為r．
由幾何知識(shí)可知：i=θ，r=2θ，
根據(jù)折射定律有：n=$\frac{sinr}{sini}$
光線AN恰好在N點(diǎn)發(fā)生全反射，則∠ANO為臨界角C．有：
sinC=$\frac{1}{n}$
由幾何知識(shí)可知，等腰三角形NON′中，NN′的距離為：
NN′=2Rsin2C=4RsinCcosC
聯(lián)立以上各式解得：NN′=$\frac{R\sqrt{4co{s}^{2}θ-1}}{co{s}^{2}θ}$
答：N、N′兩點(diǎn)間的距離為$\frac{R\sqrt{4co{s}^{2}θ-1}}{co{s}^{2}θ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何光學(xué)問題，作出光路圖是解題的基礎(chǔ)，同時(shí)要掌握全反射的條件和臨界角公式，運(yùn)用幾何關(guān)系分析光線的偏折角與折射角和入射角的關(guān)系是本題的關(guān)鍵．