Question

3．如圖所示，在光滑的平臺(tái)上有一輕彈簧，其左端固定不動(dòng)，右端位于P點(diǎn)時(shí)輕彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)．現(xiàn)用一質(zhì)量為1kg可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊向左將彈簧壓縮至右端位于Q點(diǎn)，然后由靜止釋放，小物塊從A點(diǎn)以4m/s的速度離開平臺(tái)，在平臺(tái)的右側(cè)有一固定在豎直平面內(nèi)的圓弧軌道BC，圓弧的半徑為4m，圓心角θ=37°．在圓弧軌道的右側(cè)有一質(zhì)量為2kg的長(zhǎng)木板靜止在光滑的水平面上，長(zhǎng)木板的左端挨著圓弧軌道，其上表面與過圓弧軌道C點(diǎn)的切線平齊．小物塊離開平臺(tái)后恰好沿B點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，從B到C的過程中小物塊克服摩擦力做功2.5J．小物塊離開C點(diǎn)后滑上長(zhǎng)木板的左端繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，已知小物塊和長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，g取10m/s²．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）小物塊在Q點(diǎn)時(shí)彈簧具有的彈性勢(shì)能；
（2）小物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）要使小物塊不從長(zhǎng)木板上掉下來，長(zhǎng)木板的最小長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由在平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)，小物塊和彈簧機(jī)械能守恒求解；
（2）通過幾何關(guān)系及平拋運(yùn)動(dòng)速度規(guī)律求得在B點(diǎn)的速度，然后通過動(dòng)能定理求得在C點(diǎn)的速度，即可由牛頓第二定律求得支持力，然后由牛頓第三定律求得壓力；
（3）通過勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律或動(dòng)量守恒求得共同速度，然后通過能量守恒求得摩擦產(chǎn)熱，即可求得先對(duì)位移即長(zhǎng)木板的最小長(zhǎng)度．

解答 解：（1）小物塊在水平臺(tái)面上運(yùn)動(dòng)時(shí)只有彈簧彈力做功，故機(jī)械能守恒，則有：在Q點(diǎn)時(shí)彈簧具有的彈性勢(shì)能${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=8J$；
（2）小物塊從A到B做平拋運(yùn)動(dòng)，故速度的水平分量不變，那么，小物塊沿B點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，故有${v}_{B}=\frac{{v}_{A}}{cosθ}=5m/s$；
又有小物塊從B到C只有重力、摩擦力做功，故由動(dòng)能定理有$mgR（1-cosθ）+{W}_{f}=5.5J=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，v_C=6m/s；
那么在C點(diǎn)對(duì)小物塊應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=19N$，方向豎直向上；
故由牛頓第三定律可知，小物塊對(duì)軌道的壓力為19N，方向豎直向下；
（3）小物塊滑上長(zhǎng)木板后向右勻減速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)木板向右勻加速運(yùn)動(dòng)；要使小物塊不從長(zhǎng)木板上掉下來，則長(zhǎng)木板的最小長(zhǎng)度大于小物塊和長(zhǎng)木板達(dá)到相同速度前的相對(duì)位移；
小物塊和長(zhǎng)木板之間的摩擦力f=μmg=2N，那么，小物塊的加速度${a}_{1}=2m/{s}^{2}$，長(zhǎng)木板的加速度${a}_{2}=1m/{s}^{2}$；
設(shè)二者經(jīng)過t時(shí)間達(dá)到共同速度v，則v=v_C-a₁t=a₂t，所以，t=2s，v=2 m/s；
故由能量守恒可得：摩擦產(chǎn)熱$Q=f{s}_{相對(duì)}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}=12J$，所以，s_相對(duì)=6m；
故要使小物塊不從長(zhǎng)木板上掉下來，長(zhǎng)木板的最小長(zhǎng)度為6m；
答：（1）小物塊在Q點(diǎn)時(shí)彈簧具有的彈性勢(shì)能為8J；
（2）小物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為19N，方向豎直向下；
（3）要使小物塊不從長(zhǎng)木板上掉下來，長(zhǎng)木板的最小長(zhǎng)度為6m．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．