Question

18．我國的火星探測任務基本確定，發(fā)射時間大致在2018年，這將是人類火星探測史上前所未有的盛況．已知引力常量G，根據下列測量的數據可以求出火星密度的是（　�。�

• A． 在火星表面以大小為v的速度豎直上拋一小球，測出其在空中運動的時間t
• B． 測出火星繞塌秧公轉半徑r和運行周期T
• C． 火星探測器貼近火星表面做勻速圓周運動，測出運行周期T
• D． 火星探測器在高空繞火星做勻速圓周運動，測出距火星表面的高度h和運行周期T

Answer 1

分析 求火星的密度就是要求出火星的質量和體積，求火星的質量可以根據萬有引力提供圓周運動向心力及萬有引力與重力相等來求，再根據密度公式求解火星的密度．

解答 解：A、火星表面重力加速度$g=\frac{v}{\frac{t}{2}}=\frac{2v}{t}$，火星表面物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，又M=ρV，$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$聯(lián)立得$ρ=\frac{3g}{4πRG}$，因火星半徑未知，故密度無法求，故A錯誤．
B、根據萬有引力等于向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得太陽質量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，只能求出中心天體太陽的質量，故B錯誤
C．火星的近地衛(wèi)星萬有引力提供向心力，有G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，M=ρV，$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，聯(lián)立得$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，所以火星探測器貼近火星表面做勻速圓周運動，測出運行周期T能測出火星的密度，故C正確．
D、根據萬有引力等于向心力，有G$\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，M=ρV，$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，聯(lián)立得$ρ=\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$，因為火星半徑未知，所以無法求密度，故D錯誤．
故選：C

點評 掌握萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力等于重力這兩種計算中心天體質量的方法是解決問題的關鍵．