Question

12．已知國(guó)際空間離地高度為H，繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T₁，萬有引力常量為G，地球半徑為R，地球同步衛(wèi)星距地面的高度為h，地球的自轉(zhuǎn)周期為T₂，地球表面重力加速度為g．某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：地球同步衛(wèi)星繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得$G\frac{Mm}{h^2}=m{（\frac{2π}{T_2}）^2}h$解得：$M=\frac{{4{π^2}{h^3}}}{GT_2^2}$
（1）這個(gè)同學(xué)的解題過程存在錯(cuò)誤，請(qǐng)指出錯(cuò)誤之處，并給出正確解法．
（2）請(qǐng)根據(jù)題給條件再提出一種估算地球質(zhì)量的方法，并解得結(jié)果．

Answer 1

分析 1、地球赤道表面的物體隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力并不是物體所受的萬有引力，而是萬有引力與地面對(duì)物體支持力的合力．
2、研究同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要清楚物理公式中各個(gè)物理量的含義，其中向心力公式里的r為軌道半徑，即同步衛(wèi)星到地心的距離r=R+h．
根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體地球的質(zhì)量．也可以求解同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度．

解答 解：（1）在根據(jù)牛頓第二定律列方程時(shí)，同步衛(wèi)星與地心的距離和軌道半徑的確定有錯(cuò)誤．
應(yīng)為$G\frac{Mm}{{{{（{R+h}）}^2}}}=m{（{\frac{2π}{T_2}}）^2}（{R+h}）$
解得：$M=\frac{{4{π^2}{{（{R+h}）}^3}}}{GT_2^2}$
（2）地球表面物體在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下有：$mg=\frac{GMm}{R^2}$
解得：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
另解：國(guó)際空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)向心力由地球?qū)λ�的萬有引力提供，
根據(jù)牛頓第二定律有：$G\frac{Mm}{{{{（R+H）}^2}}}=m{（{\frac{2π}{T_1}}）^2}（R+H）$
解得：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+H）}^3}}}{GT_1^2}$
答：（1）因?yàn)榈厍虺嗟辣砻娴奈矬w隨地球作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力并不是物體所受的萬有引力，而是萬有引力與地面對(duì)物體支持力的合力．
（2）如上兩種情況所述．

點(diǎn)評(píng) 在對(duì)物理規(guī)律和公式理解和應(yīng)用的同時(shí)，要知道公式中各個(gè)物理量的準(zhǔn)確含義．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．