Question

18．有兩個質(zhì)量為m的均處于基態(tài)的氫原子A、B，A靜止，B以速度v₀與之發(fā)生正碰．碰撞過程損失的動能可能被某一氫原子吸收，從而該原子由基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，然后，此原子向低能級態(tài)躍遷，并發(fā)出光子．己知?dú)湓�子的基態(tài)能量為E₁，激發(fā)態(tài)n的能量${E_n}=\frac{E_1}{n^2}$（n為量子數(shù)）．若兩氫原子發(fā)生完全非彈性碰撞，則兩原子碰撞后的速度為$\frac{{v}_{0}}{2}$；如碰后此氫原子只發(fā)出一個光子，則速度v₀的最小值為$\sqrt{\frac{-3{E}_{1}}{m}}$．

Answer 1

分析 由軌道能級表達(dá)式，得出躍遷時釋放的能量，并根據(jù)動量與能量守恒定律，結(jié)合數(shù)學(xué)知識，同時由v₀達(dá)到最小值v_0min，此時v_A=v_B，即可求解．

解答 解：若兩氫原子發(fā)生完全非彈性碰撞，則兩原子碰撞后的速度相同，取開始時原子的運(yùn)動方向?yàn)檎�方向，則：mv₀=mv+mv
所以：v=$\frac{1}{2}{v}_{0}$
為使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，需要能量最小的激發(fā)態(tài)是n=2的第一激發(fā)態(tài)．已知?dú)湓�子的能量與其主量子數(shù)的平方成反比．${E}_{n}=\frac{{E}_{1}}{{n}^{2}}$…①
n=2的第一激發(fā)態(tài)的能量為${E}_{2}=\frac{{E}_{1}}{{2}^{2}}$…②
為使基態(tài)的氫原子激發(fā)到第一激發(fā)態(tài)所需能量為E_內(nèi)=E₂-E₁…③
這就是氫原子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)時發(fā)出的光子的能量，即hν=E_內(nèi)…④
式中ν為光子的頻率，從開始碰到發(fā)射出光子，根據(jù)動量和能量守恒定律有mv₀=mv_A+mv_B+光子的動量…⑤
$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}m（v_A^2+v_B^2）+hν$…⑥
光子的動量${p_ν}=\frac{hν}{c}$．由⑥式可推得$m{v_0}＞\frac{2hν}{v_0}$，
因?yàn)関₀＜＜c，所以$m{v_0}＞＞\frac{hν}{c}$，
故⑤式中光子的動量與mv₀相比較可忽略不計，⑤式變?yōu)閙v₀=mv_A+mv_B=m（v_A+v_B）…⑦
符合⑥⑦兩式的v₀的最小值可推求如下：
由⑥式及⑦式可推得：
$\begin{array}{l}\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}m{（v_A^{\;}+v_B^{\;}）^2}-m{v_A}{v_B}+hν\\ \;\;\;\;\;{\;}_{\;}=\frac{1}{2}mv_0^2-m{v_A}（{v_0}-{v_A}）+hν\end{array}$
且$mv_A^2-m{v_A}{v_0}+hν=0$
經(jīng)配方得$m{（{{v_A}-\frac{1}{2}{v_0}}）^2}-\frac{1}{4}mv_0^2+hν=0$
$\frac{1}{4}mv_0^2=hν+m{（{{v_A}-\frac{1}{2}{v_0}}）^2}$…⑧
由（8）式可看出，當(dāng)${v_A}=\frac{1}{2}{v_0}$時，v₀達(dá)到最小值v_0min，此時v_A=v_B…⑨
v_omin=2$\sqrt{\frac{hγ}{m}}$…⑩
代入有關(guān)數(shù)據(jù)得：${v}_{0min}=\sqrt{\frac{-3{E}_{1}}{m}}$
故答案為：$\frac{v_0}{2}，\sqrt{\frac{{-3{E_1}}}{m}}$

點(diǎn)評 考查軌道能級表達(dá)式的應(yīng)用，注意動量與能量守恒定律的巧用，當(dāng)心數(shù)學(xué)運(yùn)算的正確性，同時掌握什么情況下，速度達(dá)到最小，是解題的關(guān)鍵．