Question

3．在電影中，“蜘蛛俠”常常能通過發(fā)射高強(qiáng)度的蜘蛛絲，穿梭于高樓大廈之間，從而成就了一系列的超級英雄傳說．在某次行動中，蜘蛛俠為了躲避危險(xiǎn)，在高為h_A=20m的A樓頂部進(jìn)過一段距離L₀=14.4m的助跑后在N點(diǎn)水平跳出，已知N點(diǎn)離鐵塔中軸線水平距離為L=32m，重力加速度為g=10m/s²，假設(shè)蜘蛛俠可看作質(zhì)點(diǎn)，蜘蛛絲不能伸長．
（1）要使蜘蛛俠能落到鐵塔中軸線上，他跳出的初速度至少為多少？
（2）由于體能的限制，蜘蛛俠的助跑最大加速度為5m/s²，在跳出1.6s后發(fā)現(xiàn)按照預(yù)定路線不能到達(dá)鐵塔中軸線上，于是他立即沿垂直速度方向朝鐵塔中軸線上某位置P發(fā)射蜘蛛絲，使得他在蜘蛛絲的作用下繞P點(diǎn)運(yùn)動，假設(shè)蜘蛛絲從發(fā)射到固定在P點(diǎn)的時(shí)間可忽略不計(jì)，請問他能否到達(dá)鐵塔中軸線上？如果能，請計(jì)算出到達(dá)的位置，如果不能，請說明原因．
（3）蜘蛛俠注意到在鐵塔后方有一個(gè)小湖，他決定以5m/s²的加速度助跑后跳出，擇機(jī)沿垂直速度方向朝鐵塔中軸線上某位置發(fā)出蜘蛛絲，在到達(dá)鐵塔中軸線時(shí)脫離蜘蛛絲躍入湖中，假設(shè)鐵塔足夠高，欲使落水點(diǎn)最遠(yuǎn)，他經(jīng)過鐵塔時(shí)的高度為多少？

Answer 1

分析 （1）蜘蛛俠做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動公式求解即可；
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動知識點(diǎn)求得1.6后的位置及速度，發(fā)射蜘蛛絲后蜘蛛俠做圓周運(yùn)動，通過幾何關(guān)系求的到地面的高度；
（3）利用動能定理求得脫手后的速度，再由平拋運(yùn)動知識求得運(yùn)動時(shí)間，進(jìn)而求得水平位移表達(dá)式，由數(shù)學(xué)知識確定結(jié)果；

解答 解：（1）由題意得，蜘蛛俠離開樓頂后做平拋運(yùn)動，下落高度為：h_A=20m，
豎直方向：${h}_{A}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得：t=2s
水平方向：L=v₀t．解得：v₀=16m/s
（2）假設(shè)能到達(dá)，在助跑階段，以最大加速度a=5m/s²勻加速運(yùn)動，設(shè)跳出速度v_x，
則由：${v}_{x}^{2}=2a{L}_{0}$，解得：v_x=12m/s
設(shè)經(jīng)過1.6s后水平位移為x₁、豎直位移y₁、豎直速度為v_y，
x₁=v_xt=12×1.6=19.2m，
${y}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×10×1．{6}^{2}$=12.8m，
v_y=gt=10×1.6=16m/s
合速度與水平方向夾角：$tgθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$，θ=53° 由幾何關(guān)系得：R=$\frac{L-{x}_{1}}{sin53°}$=$\frac{32-19.2}{0.8}=16m$，
離地面的高度：h=h_A-y₁-R（1-cos53°）=0.8m，故能到達(dá)塔的中線位置．
（3）設(shè)蜘蛛俠經(jīng)過鐵塔的位置高度為y，則脫手后的初速度為v，落地點(diǎn)離高塔的水平距離為x，
由動能定理得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{x}^{2}=mg（{h}_{A}-y）$，
y=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$，x=vt′
聯(lián)立各式得：$x=\sqrt{4（27.2-y）y}$，
當(dāng)y=27.2-y時(shí)，即y=13.6m時(shí)，水平距離x最大．
答：（1）要使蜘蛛俠能落到鐵塔中軸線上，他跳出的初速度至少為16m/s
（2）能，到達(dá)的位置為離地面0.8m．
（3）欲使落水點(diǎn)最遠(yuǎn)，他經(jīng)過鐵塔時(shí)的高度為13.6m．

點(diǎn)評 本題是平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動相結(jié)合的典型題目，除了運(yùn)用平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動的基本公式外，求速度的問題，動能定理不失為一種好的方法，再者是數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用．