Question

17．由中國科學院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排在第一、第二．若地球半徑為R，把地球看做質量分布均勻的球體，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G．“蛟龍”下潛深度為d，天宮一號軌道距離地面高度為h．已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零．求
（1）“天宮一號”繞地心轉一周的時間是多少？
（2）“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為多少？
（3）設想地球的密度不變，自轉周期不變，但地球球體半徑變?yōu)樵瓉淼囊话�，僅考慮地球和同步衛(wèi)星之間的相互作用力，則該“設想地球”的同步衛(wèi)星的軌道半徑與以前地球的同步衛(wèi)星軌道半徑的比值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力，求出）“天宮一號”繞地心轉一周的時間；
（2）根據(jù)萬有引力等于重力求出天宮一號所處位置的重力加速度，在深度為d的地球內部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產生的萬有引力，從而求出“蛟龍”號所在處的重力加速度，得出重力加速度之比．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，抓住地球質量的變化求出軌道半徑之比．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
根據(jù)萬有引力等于重力有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．
（2）令地球的密度為ρ，對天宮一號：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=mg$，
又：M=$ρ\frac{4π{R}^{3}}{3}$，
則：g=$\frac{4ρGπ{R}^{3}}{3（R+h）^{2}}$．
質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，故在深度為d的地球內部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產生的萬有引力，故“蛟龍?zhí)枴彼�在處的重力加速度g′=$\frac{4}{3}$πGρ（R-d）                                               
所以有$\frac{g′}{g}$=$\frac{（R+h）^{2}（R-d）}{{R}^{3}}$．
（3）地球對同步衛(wèi)星的萬有引力提供同步衛(wèi)星所需的向心力$G\frac{{M}_{1}m}{{{r}_{1}}^{2}}=m{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
$G\frac{{M}_{2}m}{{{r}_{2}}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
${M}_{1}=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，${M}_{2}=ρ\frac{4}{3}π（\frac{R}{2}）^{3}$，
聯(lián)立解得$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{1}{2}$．
答：（1）“天宮一號”繞地心轉一周的時間是$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．
（2）“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為$\frac{（R+h）^{2}（R-d）}{{R}^{3}}$．
（3）該“設想地球”的同步衛(wèi)星的軌道半徑與以前地球的同步衛(wèi)星軌道半徑的比值是$\frac{1}{2}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．