Question

7．在探測(cè)某未知天體的過程中，宇航員在一定高度繞該天體轉(zhuǎn)n圈用時(shí)t秒，用激光測(cè)出高度為h，然后升高到距地面4h處繞天體轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)得n圈用時(shí)2.82t秒（計(jì)算時(shí)用2$\sqrt{2}$t秒）最后返航（引力常量為G）
（1）求該天體的密度；
（2）求該天體不瓦解的最小自轉(zhuǎn)周期．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律分兩次列式求解天體的半徑和質(zhì)量；
再根據(jù)密度的定義求解該天體的密度；
（2）天體達(dá)到不瓦解的最小自轉(zhuǎn)周期時(shí)，赤道物體的重力恰好提供向心力．

解答 解：（1）衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m{（\frac{2π}{{\frac{t}{n}}}）^2}（R+h）$
$G\frac{Mm}{{{{（R+4h）}^2}}}=m{（\frac{2π}{{\frac{t}{2.82n}}}）^2}（R+4h）$
聯(lián)立解得：
R=2h
$M=\frac{108{π}^{2}{n}^{2}{h}^{3}}{G{t}^{2}}$   ①
故密度：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{108{π}^{2}{n}^{2}{h}^{3}}{G{t}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{81π{n}^{2}}{8G{t}^{2}}$
（2）天體達(dá)到不瓦解的最小自轉(zhuǎn)周期時(shí)，赤道物體的重力恰好提供向心力，故：
$G\frac{Mm}{R^2}=m{（\frac{2π}{{{T_{min}}}}）^2}R$
解得：
T_min=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$   ②
聯(lián)立①②解得：
T_min=$\frac{2\sqrt{6}t}{9n}$
答：（1）該天體的密度為$\frac{81π{n}^{2}}{8G{t}^{2}}$；
（2）該天體不瓦解的最小自轉(zhuǎn)周期為$\frac{2\sqrt{6}t}{9n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)原理，根據(jù)牛頓第二定律列式分析，注意第二問不要思維定勢(shì)，不難．