Question

15．如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在圓心為C半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在原點(diǎn)O放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它發(fā)射出具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速度大小為v的帶電微粒，速度方向分布在xOy平面第一和第二象限內(nèi)的各個(gè)方向上．重力加速度大小為g．已知從O點(diǎn)沿y軸正方向豎直向上發(fā)射的帶電微粒射出磁場(chǎng)區(qū)域后一直平行于x軸作直線運(yùn)動(dòng)打到PN熒光屏上，PN熒光屏垂直x軸，PN屏的長(zhǎng)度大于2R．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向．
（2）求PN屏上光斑長(zhǎng)度
（3）若撤除勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且保持勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小不變，方向改為水平向右．調(diào)節(jié)初速度v的大小，使得從O點(diǎn)沿與x軸正方向成45°方向發(fā)射的粒子a落到圓周上D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）時(shí)的速度比沿其他方向發(fā)射的粒子落到圓周上其他各點(diǎn)的速度都要大．求初速度v的大�。慨�(dāng)粒子a恰好落到圓周上D點(diǎn)時(shí)，是否還有其它粒子同時(shí)落到圓周上．若有，求出其它粒子在圓周上的落點(diǎn)到D點(diǎn)的距離；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電微粒所受重力與電場(chǎng)力平衡求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；由幾何關(guān)系確定粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，然后根據(jù)半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）為使這些帶電微粒經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．由圖可知，它們必須從經(jīng)O點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)的各圓的最高點(diǎn)飛離磁場(chǎng)，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求出符合條件的磁場(chǎng)區(qū)域的圓方程，最后求出PN屏上光斑長(zhǎng)度．
（3）沒(méi)有磁場(chǎng)時(shí)，粒子在豎直方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻變速運(yùn)動(dòng)，可以先求出合力，然后使用拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解答．

解答 解：（1）帶電微粒射出磁場(chǎng)區(qū)域后一直平行于x軸作直線運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明重力和電場(chǎng)力平衡．
由mg=qE  可得：E=$\frac{mg}{q}$，方向沿y軸正方向．
帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，將做圓周運(yùn)動(dòng)．依題意得 r=R
由 $qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
  得：$B=\frac{mv}{qR}$  方向垂直于紙面向外

（2）因?yàn)?nbsp;r=R，對(duì)任意一個(gè)速度，四邊形OCBO₂為菱形，則BO₂平行OC，
帶電微粒射出磁場(chǎng)區(qū)域后平行于x軸作直線運(yùn)動(dòng)
則PN屏上光斑長(zhǎng)度為2R  
（3）小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)a=$\sqrt{2}$g，方向沿CD方向
$\overline{OG}=\frac{\sqrt{2}}{2}R=vt$    
$\overline{OA}=\overline{GD}=R-\frac{\sqrt{2}}{2}R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$  
$v=\sqrt{\frac{（\sqrt{2}+1）gR}{2}}$   


如圖根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和圓的對(duì)稱性可知：另一個(gè)粒子落在圓周的B點(diǎn)：sin∠CAD=$\frac{R}{\sqrt{{R}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\overline{BD}=2\overline{AD}sin∠CAD=\frac{2\sqrt{3}}{3}R$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小$\frac{mv}{qR}$，方向垂直于紙面向外；
（2）PN屏上光斑長(zhǎng)度是2R；
（3）若撤除勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且保持勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小不變，方向改為水平向右．調(diào)節(jié)初速度v的大小，使得從O點(diǎn)沿與x軸正方向成45°方向發(fā)射的粒子a落到圓周上D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）時(shí)的速度比沿其他方向發(fā)射的粒子落到圓周上其他各點(diǎn)的速度都要大．初速度v的大小是$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}+1）gR}{2}}$；當(dāng)粒子a恰好落到圓周上D點(diǎn)時(shí)，還有其它粒子同時(shí)落到圓周上．另一個(gè)粒子落在圓周的B點(diǎn)：sin∠CAD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；BD之間的距離：$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)是由數(shù)學(xué)知識(shí)求是否還有其它粒子同時(shí)落到圓周上，平時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用，該題型常常作為壓軸題出現(xiàn)．