Question

4．如圖，傾角θ=37°的固定斜面AB長L=18m，質量為M=1kg的木塊由斜面中點C從靜止開始下滑，0.5s后被一顆質量為m=20g的子彈以v₀=600m/s沿斜面向上的速度正對射入并穿出，穿出速度u=100m/s．以后每隔1.5s就有一顆子彈射入木塊，設子彈射穿木塊的時間極短，且每次射入木塊對子彈的阻力相同．已知木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.25，g取10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80．求：
（1）第一顆子彈穿過木塊后，木塊的速度大小和方向怎樣？
（2）木塊在斜面上最多能被多少顆子彈擊中？
（3）在木塊從C點開始運動到最終離開斜面的過程中，子彈、木塊和斜面組成的系統(tǒng)所產(chǎn)生的內(nèi)能是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求出0.5s末木塊的速度大小和方向，子彈在射出木塊的瞬間，沿斜面方向上動量守恒，結合動量守恒定律求出第一顆子彈從木塊中穿出時的速度大小和方向．
（2）根據(jù)位移時間公式求出第一次擊中后木塊的位移，結合牛頓第二定律和運動學公式求出木塊被子彈第二次擊中時的速度以及向上運動的位移大小，結合斜面的長度得出有幾顆子彈可以擊中木塊．
（3）全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱量可分兩部分：兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能和木塊在斜面上滑行時所產(chǎn)生的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求出產(chǎn)生的總熱量．

解答 解：（1）木塊開始下滑時，由牛頓第二定律有：
Mgsinθ-μMgcosθ=Ma₁ 
代入數(shù)據(jù)解得：a₁=4m/s² 
t₁=0.5s末速度大小為：v₁=a₁t₁=2m/s（方向沿斜面向下）  
設第一顆子彈穿過木塊后瞬間木塊的速度大小為v₁′，以沿斜面向上為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀-Mv₁=mu+Mv₁′
解得：v₁′=8m/s，方向沿斜面向上
（2）t₁=0.5s時木塊下滑的位移大小為：
${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=0.5m$
第一顆子彈穿過木塊后木塊沿斜面上滑時，對木塊有：
Mgsinθ+μMgcosθ=Ma₂     
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=8m/s²，方向沿斜面向下
得上滑到最高點的時間為：${t}_{2}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{8}{8}=1s$
上滑位移大小為：${s}_{2}=\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{2}=\frac{8}{2}×1=4m$
可知木塊從C處開始運動到被第一顆子彈擊中再上升至最高點的總位移為：
L₁=s₂-s₁=3.5m，方向沿斜面向上．
因為△t-t₂=0.5s，所以第二顆子彈擊中木塊前，木塊上升到最高點P₁后又會向下加速0.5s，下滑距離為s₃=s₁=0.5m，
且被第二顆子彈擊中前瞬間的速度大小為：v₂=v₁=2m/s（方向沿斜面向下），
所以之后過程與第一顆子彈擊中后過程相同，即再次上滑到最高點P₂的位移大小仍為：s₄=s₂=4m，總位移大小仍為：L₂=L₁=3.5m，方向仍沿斜面向下 
由此可知，第二顆子彈擊中木塊后，木塊上升至最高點離斜面B點距離為：BP=BC-（L₁+L₂）=3m．
所以在被第三顆子彈擊中后，木塊到達B點時速度不為零，可沖出斜面，不會再被子彈擊中，因此全程共有3顆子彈擊中木塊．
（3）全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱量可分兩部分：兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能和木塊在斜面上滑行時所產(chǎn)生的內(nèi)能．兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能為：${Q}_{1}=3[（\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{1}}^{2}）-（\frac{1}{2}m{u}^{2}-\frac{1}{2}M{{v}_{1}}^{2}）]$．
代入數(shù)據(jù)解得：Q₁=10410J
全過程木塊在斜面上滑行的總路程為：s=BC+6s₁=13 m 
那么木塊在斜面上滑行時所產(chǎn)生的熱量為：Q₂=μMgscosθ=26J
則全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的總熱量為：Q=Q₁+Q₂=10436 J
答：（1）第一顆子彈從木塊中穿出時木塊的速度大小為8m/s，方向沿斜面向上．
（2）共有3顆子彈擊中木塊．
（3）子彈、木塊和斜面這一系統(tǒng)所產(chǎn)生的總熱量是10436J．

點評 本題綜合考查了牛頓第二定律、動量守恒定律、能量守恒定律和運動學公式，關鍵理清運動過程，選擇合適的規(guī)律進行求解．