Question

7．一只狐貍以不變的速度v₁沿直線AB逃跑，一獵犬以不變的速率v₂追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐理．某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB，且FD=L，求：
（1）此時(shí)獵犬加速度的大小，
（2）獵犬追上狐貍需要多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）獵犬的運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍且速度大小不變，故獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)向心加速度a=$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$，r為獵犬所在處的曲率半徑，因?yàn)閞不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬在D處的加速度大小，由于v₂大小不變，如果求出D點(diǎn)的曲率半徑，此時(shí)獵犬的加速度大小也就求得了；
（2）根據(jù)速度的合成與分解，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求時(shí)間．

解答 解：（1）獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度的大小和方向都在不斷改變．在所求時(shí)刻開(kāi)始的一段很短的時(shí)間內(nèi)，獵犬運(yùn)動(dòng)的軌跡可近似看做是一段圓弧，設(shè)其半徑為R，
則加速度a=$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
其方向與速度方向垂直，如圖所示．在極短時(shí)間△t內(nèi)，設(shè)狐貍與獵犬分別到達(dá)F′與D′，
獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：θ=$\frac{{v}_{2}t}{R}$，tanα=$\frac{{v}_{1}t}{L}$，
由于時(shí)間極短，α角很小，則有：tanα≈α，且α≈θ
則得：$\frac{{v}_{2}t}{R}$=$\frac{{v}_{1}t}{L}$解得：R=$\frac{L{v}_{2}}{{v}_{1}}$
所以獵犬的加速度大小為a=$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$=$\frac{{v}_{2}^{2}}{\frac{L{v}_{2}}{{v}_{1}}}$=$\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{L}$
（2）如上圖所示：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=sinθ
t=$\frac{L}{cosθ}$，cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$
解得：t=$\frac{L}{{v}_{2}\sqrt{1-\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}^{2}}}}$=$\frac{L}{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}$．
答：（1）此時(shí)獵犬的加速度的大小$\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{L}$；
（2）獵犬追上狐貍需要的時(shí)間為$\frac{L}{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題采用微元法研究獵犬的加速度．要知道當(dāng)α很小時(shí)常取sinα=tanα=α，這在微元法解題中是常運(yùn)用的等式．