Question

6．如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，第一象限存在沿y軸負方向的勻強電場，第四象限存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從y軸正半軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上N點與x軸正方向成θ=60°角射入勻強磁場中，最后從y軸負半軸某一點P射出，已知M點坐標為（0，3L），不計粒子重力，求：
（1）勻強電場的電場強度和粒子到N點的速度；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑和粒子打在P點的坐標；
（3）粒子從進入M點運動到P點所用的總時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中運動時做類平拋運動，水平方向勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，可以解出電場強度與粒子的速度；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力解出粒子做圓周運動的半徑，結合幾何關系解出粒子打到y(tǒng)軸的位置．
（3）根據(jù)粒子在磁場中的運動軌跡可以求得粒子做類平拋運動在x軸方向的位移，由于在x軸方向做勻速直線運動，故類平拋時間t可求．根據(jù)軌跡的圓心角可由t=$\frac{θ}{2π}•T$求出粒子在磁場中運動的時間，即可得到總時間．

解答 解：（1）粒子在電場中運動時做類平拋運動：水平方向勻速直線，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，合速度與分速度的關系如圖：

 $tan60°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
則：${v}_{y}=\sqrt{3}{v}_{0}$
${v}_{y}=at=\frac{qEt}{m}=\sqrt{3}{v}_{0}$…①
且豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動：OM=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{qE}{2m}{t^2}=3L$…②
由①②解得：$E=\frac{mv_0^2}{2qL}$
${v_N}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=2{v_0}$
（2）粒子在電場中運動，豎直方向的平均速度：$\overline{{v}_{y}}$=$\frac{0+{v}_{y}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{0}$，
所以豎直方向的位移：3L=$\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{0}t$…③
水平方向的位移：x=0N=v₀t…④
由③④解得：x=2$\sqrt{3}$L
由洛倫茲力提供向心力得：$qB{v_N}=m\frac{{{v_N}^2}}{R}$
則$R=\frac{{m{v_N}}}{qB}=2L$
粒子在磁場中的運動軌跡如圖：
由圖可以看出PN與x軸方向的30°，由于ON等于2$\sqrt{3}$L，
則：PN=$\frac{ON}{cos30°}$=4L
PN距離恰好為半徑的兩倍，說明粒子正好從NP直徑出第四象限
即打在y 軸負半軸的坐標（0，-2L）
（3）粒子在電場中做類平拋運動，水平位移x=0N=v₀t=2$\sqrt{3}$L，
解得：t=$\frac{2\sqrt{3}L}{{v}_{0}}$
粒子在磁場中運動軌跡為半圓，所需的時間：t₂=$\frac{πR}{{v}_{N}}$=$\frac{π2L}{2{v}_{0}}$=$\frac{πL}{{v}_{0}}$
所以粒子的運動總時間為t_總=$\frac{{2\sqrt{3}L+πL}}{v_0}$
答：（1）勻強電場的電場強度為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$，粒子到N點的速度為2v₀；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑為2L，粒子打在P點的坐標為（0，-2L）；
（3）粒子從進入M點運動到P點所用的總時間為$\frac{{2\sqrt{3}L+πL}}{v_0}$．

點評 本題主要考查了帶電粒子在混合場中運動的問題，要求同學們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運動情況，熟練掌握圓周運動及平拋運動的基本公式，難度適中．