Question

9．2016年第三季度，我國將再發(fā)射2顆北斗星導航衛(wèi)星，作為已有衛(wèi)星的備份和保底，以組成發(fā)生備份的組網星，目的是更好地提高系統的可靠性和完好性．如圖所示，P、Q時兩顆備用星的預定軌道，它們是兩個赤道與軌道共面的圓形軌道，且運行方向與地球自轉方向一致，若Q衛(wèi)星在同步軌道上運動，已知P衛(wèi)星對地球的最大視角為2θ，地球自轉周期為T0，半徑為R，重力加速度為g，若某時刻兩衛(wèi)星與地心連線正好在同一直線上，則下列判斷正確的是（　　）

• A． P衛(wèi)星的周期為T₁=$\frac{2π}{sinθ}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$
• B． P衛(wèi)星的半徑為r₁=$\frac{R}{sinθ}$
• C． Q衛(wèi)星的 向心加速度為a=$\root{3}{\frac{16{π}^{4}g{R}^{2}}{{{T}_{0}}^{4}}}$
• D． P、Q兩顆衛(wèi)星在一天內出現最近距離的次數為（$\frac{{T}_{0}sinθ}{2π}$$\sqrt{\frac{gsinθ}{R}}$-1）次

Answer 1

分析 根據幾何關系即可求出P衛(wèi)星的軌道半徑，由萬有引力提供向心力即可求出P衛(wèi)星的周期和Q衛(wèi)星 的向心加速度；衛(wèi)星P繞地球做勻速圓周運動，衛(wèi)星Q隨地球自轉做勻速圓周運動，當二者轉過的角度之差等于2π時，衛(wèi)星再次最近．

解答 解：A、B、由幾何關系可知，P衛(wèi)星的軌道半徑：r₁=$\frac{R}{sinθ}$；
由萬有引力提供向心力得：$\frac{GM{m}_{P}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{{m}_{P}•4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$
所以：${T}_{1}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{GM}}$
又：$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$
聯立得：${T}_{1}=\frac{2π}{sinθ}\sqrt{\frac{R}{g•sinθ}}$．故A錯誤，B正確；
C、衛(wèi)星Q受到的萬有引力提供向心力，則：ma=$\frac{GM{m}_{Q}}{{r}_{2}^{2}}$=$\frac{{m}_{Q}•4{π}^{2}{r}_{2}}{{T}_{0}^{2}}$
聯立得：a=$\root{3}{\frac{16{π}^{4}g{R}^{2}}{{{T}_{0}}^{4}}}$．故C正確；
D、兩個衛(wèi)星兩次距離最近的時間設為t，則t時間內二者轉過的角度差2π弧度，所以：
設至少經多長t時間衛(wèi)星再次經過A點正上空，則 $\frac{2π}{{T}_{1}}•t-\frac{2π}{{T}_{0}}•t=2π$
解得 t=$\frac{{T}_{1}{T}_{0}}{{T}_{0}-{T}_{1}}$
P、Q兩顆衛(wèi)星在一天內出現最近距離的次數為n=$\frac{{T}_{0}}{T}$=$\frac{{T}_{0}}{{T}_{1}}-1$=（$\frac{{T}_{0}sinθ}{2π}$$\sqrt{\frac{gsinθ}{R}}$-1）次．故D正確．
故選：BCD

點評 本題主要考查了萬有引力應用問題，掌握星球表面重力與萬有引力相等，環(huán)繞天體繞中心天體圓周運動萬有引力提供向心力．