Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，A（-0.3，0）、C是x軸上的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0.3）．在第二象限內(nèi)以D（-0.3，0.3）為圓心、0.3m為半徑的$\frac{1}{4}$圓形區(qū)域內(nèi)，分布著方向垂直xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.1T 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在第一象限三角形OPC之外的區(qū)域，分布著沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有大量質(zhì)量為m=3×10^-9kg、電荷量為q=1×10^-4C的相同粒子，從A點(diǎn)平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁場(chǎng)區(qū)域，其中沿AD方向射入的粒子恰好從P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)后恰好通過(guò)C點(diǎn)．已知α=37°，不考慮粒子間的相互作用及其重力，求：
（1）粒子的初速度大小和電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）粒子穿越x正半軸的最大坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）選沿AD方向射入的粒子作為研究對(duì)象，粒子恰好運(yùn)動(dòng)四分之一圓周之后進(jìn)入電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合類平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求解；
（2）先證明粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度方向沿x軸正方向，再根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求出粒子到達(dá)x軸的坐標(biāo)的表達(dá)式，最后再根據(jù)數(shù)學(xué)求極值的方法求出粒子穿越x正半軸的最大坐標(biāo)．

解答 解：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑r，粒子的初速度v
        洛倫茲力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
        可得：r=$\frac{mv}{qB}$①
        根據(jù)題意和幾何知識(shí)，可得r=DP=0.3m代入①得：v=1×10³m/s
        沿AD方向的粒子由P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度方向與y軸垂直．所以，該粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t
        x方向：OC=vt ②
        y方向：OP=$\frac{1}{2}$at² ③
        根據(jù)幾何關(guān)系得：$\frac{OP}{OC}$=tanα ④
        根據(jù)牛頓第二定律：Eq=ma ⑤
        ②③④⑤式子聯(lián)立得：E=112.5V/m
（2）設(shè)速度方向與x軸正方向的夾角為θ的入射粒子，從x正半軸穿過(guò)時(shí)距離O點(diǎn)最遠(yuǎn)，粒子從F點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，其中O′是粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，粒子運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)時(shí)的速度為v_F，
        由于粒子的運(yùn)動(dòng)半徑等于磁場(chǎng)的半徑，所以四邊形ADFO′為菱形，O′F∥AD，速度v_F⊥O′F，而AD又是豎直方向，所以v_F垂直于y軸從F′點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，仍做類平拋運(yùn)動(dòng)
        設(shè)粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t′，粒子穿越x正半軸的最大坐標(biāo)為x_C，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)x方向的位移為x，F(xiàn)′點(diǎn)的坐標(biāo)為（x_F′，y_F′），F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y_F，則y_F=y_F′，
        類平拋過(guò)程，x方向：x=vt′⑥
                           y方向：y_F=$\frac{1}{2}$at′² ⑦
        粒子到達(dá)x軸的坐標(biāo)為x_C=x+x_F′⑧
        根據(jù)幾何關(guān)系得：x_F′=$\frac{{r-y}_{F}}{tanα}$  ⑨
                                  y_F=r（1-cosθ） ⑩
        聯(lián)立①⑥⑦⑧⑨⑩式，得：x_C=0.4$\sqrt{1-cosθ}$+0.4cosθ
        令$\sqrt{1-cosθ}$=k，所以x_C=0.4k+0.4（1-k²）
        根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)k=0.5時(shí)x_C有最大值，最大值為0.5m
答：（1）粒子的初速度大小v=1×10³m/s，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E=112.5V/m；
      （2）粒子穿越x正半軸的最大坐標(biāo)為0.5m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，根據(jù)運(yùn)動(dòng)形式選擇合適方法處理．對(duì)于類平拋運(yùn)動(dòng)，常常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，將其分解為兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解；對(duì)于磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫(huà)出軌跡，洛倫茲力提供向心力，再由幾何知識(shí)求解半徑，二者聯(lián)立即可；第二問(wèn)粒子在磁場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)，由于粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和磁場(chǎng)半徑相等，有結(jié)論：所有從A點(diǎn)朝∠DAO方向出射的粒子都平行x軸出射，證明的方法為：作出由粒子軌跡圓的圓心、磁場(chǎng)圓的圓心以及出射點(diǎn)、入射點(diǎn)四點(diǎn)組成的四邊形，證明其為菱形；經(jīng)常圍繞這個(gè)模型出“一點(diǎn)發(fā)射的粒子平行出射”或者“平行入射的粒子匯聚一點(diǎn)”等問(wèn)題，大家要牢記．