Question

游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來（如圖甲）．我們把這種情況抽象為圖乙的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端無初速滾下，小球進(jìn)入圓軌道下端后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)（不計(jì)摩擦和空氣阻力），其中A、B分別為圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)．若質(zhì)量為m的小球從曲面軌道上的P點(diǎn)由靜止開始下滑，并且可以順利通過半徑為R的圓軌道的最高點(diǎn)A．已知P點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差h=3R，求：
（1）小球通過B時(shí)速度有多大？
（2）小球通過B點(diǎn)時(shí)受到圓軌道支持力有多大？
（3）若小球在運(yùn)動(dòng)中需要考慮摩擦和空氣阻力，當(dāng)小球從P點(diǎn)由靜止開始下滑，且剛好通過最高點(diǎn)A，則小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）欲求B點(diǎn)的速度，只需對于P到B過程應(yīng)用動(dòng)能定理或者是機(jī)械能守恒都可以；
（2）先以小球?yàn)檠芯繉ο螅�利用牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力
（3）首先求出剛好能通過最高點(diǎn)A點(diǎn)時(shí)的臨界速度，再應(yīng)用動(dòng)能定理就可以了．

解答：解：（1）設(shè)小球在最低點(diǎn)的速度為V，由動(dòng)能定理得：
       mgh=

1

2

mv²
       得V=

2gh

=

6gR

  
（2）在B點(diǎn)由向心力定義和牛頓第二定律得：
     F-mg=m

v2

R

     聯(lián)立得F=7mg
 （3）設(shè)小球剛好在A點(diǎn)的速度為V₀，由向心力定義和牛頓第二定律得：
      mg=m

v 2 0

R

    即V₀=

gR

      設(shè)小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功W，由動(dòng)能定理得：
       mg（h-2R）+W=

1

2

mV₀²
       得  W=-0.5mgR
      所以小球克服阻力做功0.5mgR
答：（1）小球通過最低點(diǎn)B時(shí)速度V=

6gR

    （2）小球通過B點(diǎn)時(shí)受到圓軌道的壓力F′=7mg
    （3）小球從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為0.5mgR．

點(diǎn)評：本題考查動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)中向心力的分析，第三問中小球在A點(diǎn)的臨界速度是關(guān)鍵．這是一道綜合性較強(qiáng)的好題．