Question

15．如圖，太陽(yáng)系中星體A繞太陽(yáng)做半徑為R₁的圓周運(yùn)動(dòng)，星體B作拋物線運(yùn)動(dòng)．B在近日點(diǎn)處與太陽(yáng)的相距為R₂=2R₁，且兩軌道在同一平面上，兩星體運(yùn)動(dòng)方向如圖中箭頭所示．設(shè)B運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)，A恰好運(yùn)動(dòng)到B與太陽(yáng)連線上，A、B隨即發(fā)生某種強(qiáng)烈的相互作用而迅速合并成一個(gè)新的星體，其間的質(zhì)量損失可忽略．試證明新星體繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓．

Answer 1

分析 A、B星體靠攏過程中動(dòng)量守恒，從而求出新星體C的速度，計(jì)算C新星體的機(jī)械能判斷軌道的形狀是否為橢圓．

解答 證明：計(jì)算新星體C的機(jī)械能，設(shè)C距日R₃，設(shè)A、B星球的速度分別為v_A和v_B，則：
在徑向：可以認(rèn)為在A、B靠攏過程中質(zhì)心未動(dòng)，所以C到太陽(yáng)的距離為
R₃=$\frac{{m}_{A}{R}_{1}+{m}_{B}{R}_{2}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$=$\frac{{m}_{A}+2{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}{R}_{1}$     ①
在切向：A、B合并過程中動(dòng)量也守恒，則有（m_A+m_B）v_C=m_Av_A+m_Bv_B     ②
研究②中的v_A、v_B：
因A做圓周運(yùn)動(dòng)，故v_A=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}}}$
所以v_B=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{2}}}$=$\sqrt{\frac{2GM￢}{2{R}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}}}$=v_A
將v_A、v_B帶入②得v_C=$\sqrt{\frac{2GM}{{R}_{1}}}$      ③
利用①③C星體的機(jī)械能為
E_C=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）${v}_{C}^{2}$-G$\frac{M（{m}_{A}+{m}_{B}）}{{R}_{C}}$=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）$\frac{2GM}{{R}_{1}}$-$\frac{GM（{m}_{A}+{m}_{B}）}{\frac{{m}_{A}+2{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}{R}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$G$\frac{M{m}_{A}（{m}_{A}+{m}_{B}）}{（{m}_{A}+2{m}_{B}）{R}_{1}}＜0$
因此，新星體C的軌道為橢圓．

點(diǎn)評(píng) 本題難度很大，關(guān)鍵是運(yùn)用了選修3-5知識(shí)點(diǎn)動(dòng)量守恒定律，同學(xué)們平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)要學(xué)會(huì)構(gòu)建物理模型，記住有用的結(jié)論，本題中動(dòng)量守恒定律，機(jī)械能、萬有引力定律等知識(shí)點(diǎn)，平時(shí)學(xué)習(xí)要各個(gè)擊破．