Question

【題目】小明設(shè)計(jì)了一個(gè)彈球游戲裝置，如圖所示，ABCD為四分之三圓弧軌道，A端通過(guò)豎直過(guò)渡軌道PA與彈射裝置相連，D端通過(guò)水平過(guò)渡軌道DE與水平軌道EG相連，兩過(guò)渡軌道稍微錯(cuò)開(kāi)；管徑很小的圓形細(xì)管與軌道EG相切于O點(diǎn)，細(xì)管底部進(jìn)出口O、稍微錯(cuò)開(kāi)，整個(gè)軌道固定于同一豎直平面內(nèi)，各段軌道間均平滑連接。現(xiàn)有一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）被壓縮的輕彈簧從P點(diǎn)彈出后沿軌道運(yùn)動(dòng)。已知小球質(zhì)量m=0.2kg，軌道ABCD的半徑r=0.1m，細(xì)管的圓半徑R=0.2m，P、A兩點(diǎn)間的高度差h=0.5m，O、E兩點(diǎn)間的距離L=1m，O、G兩點(diǎn)間的距離足夠大，小球與軌道EG間的動(dòng)摩擦因數(shù)，其余軌道均光滑，彈簧的最大彈性勢(shì)能Epm=2.2J彈簧的形變始終不超過(guò)其彈性限度，小球運(yùn)動(dòng)時(shí)始終未脫離軌道。

(1)求小球通過(guò)B點(diǎn)的最小速度和對(duì)應(yīng)的彈簧彈性勢(shì)能；

(2)為使小球最終停在EO段，求彈簧彈性勢(shì)能應(yīng)滿足的條件；

(3)以O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O點(diǎn)指向G點(diǎn)的方向?yàn)檎�方向建�?/span>x軸，在圖乙中畫(huà)出彈簧彈性勢(shì)能Ep與小球最終停下的位置坐標(biāo)x的關(guān)系圖線（本小題不需要寫出具體解答過(guò)程，但需要標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值）。

Answer 1

【答案】(1)1m/s，1.3J；(2)1.3J≤Ep≤1.8J；(3)

【解析】

（1）在B點(diǎn)，當(dāng)軌道對(duì)小球的彈力恰好為零時(shí)，根據(jù)向心力公式有

解得

vB=1m/s

從P點(diǎn)到B點(diǎn)，根據(jù)功能關(guān)系有

Ep1=mg（h+r）+

解得

Ep1=1.3J

（2）若小球恰好到達(dá)F點(diǎn)，從P點(diǎn)到F點(diǎn)，根據(jù)功能關(guān)系有

Ep2=mg（h-r+2R）+μmgL

解得

Ep2=2J

此后小球返回，根據(jù)功能關(guān)系有

mg·2R=mgh1+μmgL

解得

h1=0.2m=2r＞r=0.1m

小球會(huì)在CB間脫離軌道

若小球在到達(dá)F點(diǎn)前返回恰好到達(dá)C點(diǎn)，從P點(diǎn)到C點(diǎn)，根據(jù)功能關(guān)系有:

Ep3=mgh+μmg·2L

解得

Ep3=1.8J

故要使小球最終停在EO段，彈簧彈性勢(shì)能應(yīng)滿足

1.3J≤Ep3≤1.8J

（3）當(dāng)Ep>2J時(shí)，小球停在OG段，根據(jù)功能關(guān)系有

Ep=-mg（h-r）+μmg（L+x）

解得

Ep=0.4x+1.2 （2m＜x≤2.5m）

當(dāng)1.3J≤Ep3≤1.8J時(shí)，小球停在EO段；當(dāng)小球在EO段恰好往返一次到E點(diǎn)時(shí)，根據(jù)功能關(guān)系有

Ep4=mg·（h-r）+μmg·2L

解得

Ep4=1.6J

當(dāng)

1.3J≤Ep3<1.6J

時(shí)，根據(jù)功能關(guān)系有

Ep=mg（h-r）+μmg（L+x）

解得

Ep=-0.4x+1.2 （-1m＜x≤-0.25m）

當(dāng)1.6J≤Ep3≤1.8J時(shí)，根據(jù)功能關(guān)系有

Ep=-mg·（h-r）+μmg{（2L+[L-（-x）]}

解得

Ep=0.4x+2 （-1m≤x≤-0.5m）

圖線如圖所示: