Question

14．豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平滑道AB與光滑的四分之一圓弧滑道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點相切，軌道放在光滑的水平面上，如圖所示，已知軌道質(zhì)量M=2kg處于靜止，AB=1m，圓弧軌道半徑R=2.8m，現(xiàn)有一個質(zhì)量m=1kg的小物塊從平臺以速度V₀從A端滑上，小物塊與小車水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.4，（g取10m/s²）．
（1）若軌道固定不動，要使小物塊恰好滑上軌道最高點D，初速度V₀應是多少？小滑塊運動到最高點后再返回C端時對圓弧軌道的壓力是多少？小滑塊最后是否能停止在板上？
（2）若軌道不固定，使小物塊恰好滑不上圓弧，初速度V₀是多少？摩擦力對小物塊做了多少功？這個過程用了多長時間？
（3）若軌道不固定，要使小物塊恰好滑上軌道的最高點，初速度V₀應是多少？
（4）若軌道不固定，小物塊滑上軌道沿軌道運動，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中點，則初速度V₀應是多少？

Answer 1

分析 （1）若軌道固定不動，要使小物塊恰好滑上軌道最高點D，則到達D點速度為零，根據(jù)動能定理求解初速度，再根據(jù)動能定理求出到達C點速度，根據(jù)牛頓第二定律求出壓力，根據(jù)動能定理求出到達A點速度，從而判斷能不能停在板上；
（2）若軌道不固定，當物塊運動到B點時與木板速度相同，恰好滑不上圓弧，根據(jù)動量守恒定律以及能量守恒定律求解初速度和摩擦力對小物塊做的功，動量定理求解時間；
（3）若軌道不固定，要使小物塊恰好滑上軌道的最高點，則到達最高點時，物塊與木板的水平方向速度相等，豎直方向速度為零，根據(jù)動量守恒定律以及能量守恒定律求解初速度；
（4）若軌道不固定，小物塊滑上軌道沿軌道運動，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中點，此過程中，根據(jù)動量守恒定律以及能量守恒定律求解初速度．

解答 解：（1）從A到D的過程中，根據(jù)動能定理得：$0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-mgR-μmgl$，解得：v₀=8m/s，
小滑塊運動到最高點后再返回C端的過程中，根據(jù)動能定理得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mgR$，
在C點，根據(jù)牛頓第二定律得：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：F_N=30N，
物塊從D到A的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-0=mgR-μmgl$
解得：v_A=$4\sqrt{3}m/s$，則小滑塊最后不能停止在板上，
（2）若軌道不固定，當物塊運動到B點時與木板速度相同，恰好滑不上圓弧，以向右為正，根據(jù)動量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v₁，
根據(jù)能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{1}}^{2}=μmgl$
解得：v₀=$2\sqrt{3}m/s$，${v}_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}m/s$，
對物塊，根據(jù)動能定理得：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=-5.33J，
根據(jù)動量定理得：-μmgt=mv₁-mv₀，解得：t=$\frac{\sqrt{3}}{3}s$，
（3）若軌道不固定，要使小物塊恰好滑上軌道的最高點，則到達最高點時，物塊與木板的水平方向速度相等，豎直方向速度為零，根據(jù)動量守恒定律得：mv₀=（M+m）v₂，
根據(jù)能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{2}}^{2}=μmgl+mgR$
解得：v₀=$4\sqrt{6}m/s$
（4）若軌道不固定，小物塊滑上軌道沿軌道運動，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中點，此過程中，根據(jù)動量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v₃，
根據(jù)能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{3}}^{2}=μmg•\frac{3}{2}l$
解得：v₀=$3\sqrt{2}m/s$
答：（1）若軌道固定不動，要使小物塊恰好滑上軌道最高點D，初速度V₀應是8m/s，小滑塊運動到最高點后再返回C端時對圓弧軌道的壓力是30N，小滑塊最后不能停止在板上；
（2）若軌道不固定，使小物塊恰好滑不上圓弧，初速度V₀是$2\sqrt{3}m/s$，摩擦力對小物塊做的功為-5.33J，這個過程用了$\frac{\sqrt{3}}{3}s$；
（3）若軌道不固定，要使小物塊恰好滑上軌道的最高點，初速度V₀應是$4\sqrt{6}m/s$；
（4）若軌道不固定，小物塊滑上軌道沿軌道運動，由DC弧滑下后就停在水平滑道AB的中點，則初速度V₀應是$3\sqrt{2}m/s$．

點評 本題主要考查了動量守恒定律、能量守恒定律以及動能定理的直接應用，要求同學們能正確分析物塊的運動的情況，知道應用動量守恒定律解題時要規(guī)定正方向，難度適中．