Question

天文工作者觀測(cè)到某行星的半徑為r₀，自轉(zhuǎn)周期為T₀，它有一顆衛(wèi)星，軌道半徑為r，繞行星公轉(zhuǎn)周期為T．
求：
（1）該行星表面的重力加速度g為多大？
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆同步人造衛(wèi)星，使其軌道在赤道上方，則該同步衛(wèi)星離地表的高度h為多大？

Answer 1

分析：（1）衛(wèi)星繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由行星的萬(wàn)有引力提供，行星表面的物體受到的重力等于行星對(duì)它的萬(wàn)有引力，據(jù)此列方程可以求出行星表面的重力加速度．
（2）同步衛(wèi)星的周期等于行星自轉(zhuǎn)周期，它做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由行星對(duì)它的萬(wàn)有引力提供，由牛頓第二定律列方程，可以求出同步衛(wèi)星到地表的高度．

解答：解：（1）設(shè)行星質(zhì)量是M，衛(wèi)星質(zhì)量是m，
對(duì)衛(wèi)星環(huán)，由牛頓第二定律得：

GMm

r2

=m(

2π

T

)2r  ①，
設(shè)行星表面上一物體質(zhì)量為m′，
則對(duì)該物體有：

GMm′

r02

=m′g  ②，
聯(lián)立①②得，g=

4π2r3

T2r02

  ③；
（2）設(shè)同步衛(wèi)星距地面的高度是h，
對(duì)同步衛(wèi)星，由牛頓第二定律可得：

GMm″

(r0+h)2

=m″(

2π

T0

)2(r0+h) ④，
聯(lián)立①④（或②③④）解得：h=r(

T0

T

)

2

3

-r0，h=r?

3	T 2 0 T2

-r0．
答：（1）該行星表面的重力加速度g=

4π2r3

T2 r 2 0

．
（2）該同步衛(wèi)星離地表的高度h為h=r(

T0

T

)

2

3

-r0（或 h=r?

3	T 2 0 T2

-r0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求重力加速度及衛(wèi)星高度問(wèn)題，知道萬(wàn)有引力提供向心力、熟練應(yīng)用萬(wàn)有引力公式、牛頓第二定律即可正確解題．