Question

17．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，有一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形區(qū)域OPQ，PQ邊與x軸垂直，在三角形區(qū)域以外，均存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三角形OPQ區(qū)域內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)分布．現(xiàn)有質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，粒子重力忽略不計(jì)．
（1）若要使該粒子不出磁場(chǎng)，直接到達(dá)P點(diǎn)，求粒子從O點(diǎn)射入的最小速度的大小和方向；
（2）若粒子從O點(diǎn)以初速度v_o，沿x軸正方向射人，能再次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，求該粒子從出發(fā)到再次過(guò)O點(diǎn)所經(jīng)歷時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）若要使該粒子不出磁場(chǎng)，直接到達(dá)P點(diǎn)，即粒子直接做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)P點(diǎn)，最小速度對(duì)應(yīng)著最小的半徑，顯然只能是以O(shè)P為走私的圓，再由半徑公式求出速度的大小和方向．
（2）粒子以沿y軸正方向速度為v₀射入磁場(chǎng)，且再次回到O點(diǎn)，此種情況比較特殊．畫(huà)出粒子三進(jìn)三出無(wú)場(chǎng)三解形區(qū)域的軌跡，由各段的偏轉(zhuǎn)角求出相應(yīng)時(shí)間，從而求出總時(shí)間．

解答 解：（1）當(dāng)初速度v₀垂直于OP射入磁場(chǎng)時(shí)，粒子射入速度最小，
  由幾何知識(shí)得：r₁=$\frac{L}{2}$  �、�
  由$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$　　　　　 ②
  得：${v}_{0}=\frac{qBL}{2m}$  　      ③
  方向垂直于OP向上或與y軸正半軸成30°角斜向左上　　
（2）若粒子從O點(diǎn)以初速度v₀=$\frac{\sqrt{3}qBL}{6m}$，沿y軸正方向射入，
  則由$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$得：
  ${r}_{2}=\frac{m{v}_{0}}{qB}=\frac{\sqrt{3}}{6}L$　　　　　④
  粒子從O運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)出磁場(chǎng)進(jìn)入三角形區(qū)域，
  由幾何知識(shí)得：OA=$\sqrt{3}{r}_{2}=\frac{L}{2}$   　 ⑤
  圓心角∠OO₁A=120°                 ⑥
  運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{1}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3qB}$            ⑦
  粒子從A到B做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間
  ${t}_{2}=\frac{{S}_{AB}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}m}{qB}$                    ⑧
  由軌跡圖象可知，粒子可以回到O點(diǎn)，所用時(shí)間
  t=6t₁+3t₂=（4π+$3\sqrt{3}$）$\frac{m}{qB}$         
答：（1）若要使該粒子不出磁場(chǎng)，直接到達(dá)P點(diǎn)，粒子從O點(diǎn)射入的最小速度的大小為$\frac{qBL}{2m}$，方向垂直于OP向上或與y軸正半軸成30°角斜向左上．
（2）若粒子從O點(diǎn)以初速度v_o，沿y軸正方向射人，能再次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，該粒子從出發(fā)到再次過(guò)O點(diǎn)所經(jīng)歷時(shí)間為（4π+$3\sqrt{3}$）$\frac{m}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于，粒子是怎樣在磁場(chǎng)和三解形區(qū)域交替運(yùn)動(dòng)后回到O點(diǎn)的，找到其中的對(duì)稱性．從而求出對(duì)應(yīng)的半徑和偏轉(zhuǎn)角，這樣速度大小也就能求出，在三角形區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也能求出，從而總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也能求出來(lái)．