Question

6．宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對(duì)它們的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運(yùn)行．設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m．則在第一種形式下，沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的星體的角速度為$\frac{\sqrt{5GmR}}{2{R}^{2}}$；在第二種形式下，設(shè)星體之間的距離為d，則星體運(yùn)動(dòng)的周期為$\sqrt{\frac{{4{π^2}{d^3}}}{3Gm}}$．

Answer 1

分析 明確研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象受力分析，找到做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的來(lái)源，關(guān)鍵在于明確天體受到的合外力充當(dāng)向心力關(guān)系．

解答 解析：（1）對(duì)于第一種運(yùn)動(dòng)情況，以某個(gè)運(yùn)動(dòng)星體為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律有：
${F_1}=\frac{{G{m^2}}}{R^2}$
${F_2}=\frac{{G{m^2}}}{{{{（2R）}^2}}}$
F₁+F₂=mω²R
運(yùn)動(dòng)星體的線速度：$ω=\frac{{\sqrt{5GmR}}}{{2{R^2}}}$
（2）另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，則三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
R‘=$\frac{\frac71ao8f3{2}}{cos30°}$
由于星體做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力靠其它兩個(gè)星體的萬(wàn)有引力的合力提供．由力的合成和牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：
${F_合}=2\frac{{G{m^2}}}{d^2}cos{30°}$
${F_合}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R'$
由⑤⑥⑦式得：T=$\sqrt{\frac{{4{π^2}{d^3}}}{3Gm}}$
故答案為：$\frac{\sqrt{5GmR}}{2{R}^{2}}$；$\sqrt{\frac{{4{π^2}{d^3}}}{3Gm}}$

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析，明確星球轉(zhuǎn)動(dòng)中是哪些力的合力來(lái)充當(dāng)向心力．