Question

3．若宇宙中有兩顆相距無限遠的恒星S₁、S₂，半徑均為R₀．如圖所示分別是這兩顆恒星周圍行星的公轉(zhuǎn)半徑r的三次方與公轉(zhuǎn)周期T的平分的圖象．則下列說法正確的是（　　）

• A． 恒星S₁的質(zhì)量大于恒星S₂的質(zhì)量
• B． 恒星S₁表面的重力加速度小于恒星S₂表面的重力加速度
• C． 恒星S₁的第一宇宙速度小于恒星S₂的第一宇宙速度
• D． 距兩恒星表面高度相同的行星，S₁的行星向心加速度較大

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，得出衛(wèi)星的周期與恒星的質(zhì)量、半徑之間的關(guān)系，然后進行比較；
結(jié)合萬有引力提供向心力，分別寫出第一宇宙速度的表達式，然后比較它們的大小關(guān)系；

解答 解：行星m圍繞恒星M做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得${T}_{\;}^{2}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{GM}{r}_{\;}^{3}$
${T}_{\;}^{2}-{r}_{\;}^{3}$圖線是過原點的傾斜的直線，斜率$k=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{GM}$
A、${S}_{1}^{\;}$圖線斜率大，故恒星${S}_{1}^{\;}$質(zhì)量小，故A錯誤；
B、根據(jù)恒星表面物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
兩恒星半徑相等，恒星${S}_{1}^{\;}$質(zhì)量小，故恒星${S}_{1}^{\;}$表面的重力加速度較小，故B正確．
C、根據(jù)第一宇宙速度公式$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
兩恒星半徑相等，恒星${S}_{1}^{\;}$的質(zhì)量小，所以恒星${S}_{1}^{\;}$的第一宇宙速度較小，故C正確．
D、距兩恒星表面高度相同的行星，軌道半徑相同，根據(jù)牛頓第二定律，有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$
得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$
軌道半徑相同，恒星${S}_{1}^{\;}$的質(zhì)量小，故${S}_{1}^{\;}$的向心加速度較小，故D錯誤．
故選：BC

點評 該題考查萬有引力定律的應(yīng)用，由于兩個恒星的半徑均為${R}_{0}^{\;}$，又可以根據(jù)圖象，結(jié)合萬有引力定律比較半徑和周期之間的關(guān)系．當(dāng)然也可以結(jié)合開普勒第三定律分析半徑與周期之間的關(guān)系．