Question

9．帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系x軸上方，有一半徑為R的圓，該圓的圓心為O₁，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸的下方有平行于x軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，在A處有一帶電的粒子（質(zhì)量為m、電荷量為q），以初速度v₀垂直x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)偏轉(zhuǎn)后射出磁場(chǎng)，又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后從x軸上的C點(diǎn)垂直進(jìn)入電場(chǎng)，若OA=OC=$\frac{2}{3}$R（粒子重力不計(jì)），求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）粒子進(jìn)入電場(chǎng)后到達(dá)y軸上D點(diǎn)時(shí)的速率及坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周圓周運(yùn)動(dòng)，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后求出粒子的軌道半徑，洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律看運(yùn)氣求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）求出粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，然后根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出粒子到達(dá)D點(diǎn)的速度，求出D的坐標(biāo)．

解答 解：粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
（1）由幾何知識(shí)可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r=$\frac{2}{3}$R，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{2qR}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πR}{3{v}_{0}}$，
粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)半個(gè)圓周，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{1}{2}$T=$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$；
（3）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
在豎直方向：y=v₀t，
在水平方向：$\frac{2}{3}$R=$\frac{1}{2}$at²，
由牛頓第二定律得：a=$\frac{qE}{m}$，
水平方向的分速度：v_x=at，
粒子到達(dá)D點(diǎn)的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}$，
解得：y=2v₀$\sqrt{\frac{mR}{3qE}}$，v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{4qER}{3m}}$；
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{3m{v}_{0}}{2qR}$；
（2）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$；
（3）粒子進(jìn)入電場(chǎng)后到達(dá)y軸上D點(diǎn)時(shí)的速率為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{4qER}{3m}}$，坐標(biāo)為：（0，-2v₀$\sqrt{\frac{mR}{3qE}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以解題．