Question

7．某中學的排球訓練場地為長18.0m，寬9.0m的長方形，場地中央的排球網高約為2.0m，訓練中使用的排球質量為0.28kg，取g=10m/s²
（1）若前排運動員跳起來在球網的上邊緣沿垂直球網且水平的方向，將二傳手傳出的排球擊中到對方場地的底線，不計排球被擊出前的速度極其直徑的大小，求運動運擊球過程中對排球所做的功．
（2）站位在后排的運動員站在3m線處豎直向上起跳，并在最高點將球沿垂直球網方向水平擊出后去，不計排球被擊出前的速度極其直徑的大�。�
①若運動員跳起擊球點的高度為2.5m，要想使排球既不觸網也不出界，試分析說明擊球的速度應滿足什么條件
②若擊球點的高度小于某個值，那么無論水平擊球的速度多大，球不是觸網就是出界，試求這個高度．

Answer 1

分析 （1）根據高度求出平拋運動的時間，結合水平位移求出初速度，從而得出擊球過程中做功的大�。�
（2）要想使排球既不觸網也不出界，抓住兩個臨界情況，即恰好不觸網，恰好不越界，結合平拋運動的規(guī)律求出初速度的范圍．
（3）抓住臨界情況，即球恰能擦網而過而不壓對方底線邊界，結合運動學公式求出高度的大小．

解答 解：（1）排球被擊出后做平拋運動，運動的水平位移x=9.0m，下落的高度h=2.0m，
則平拋運動的時間$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×2}{10}}s=\sqrt{0.4}s$，
平拋運動的初速度${v}_{0}=\frac{x}{t}=\frac{9}{\sqrt{0.4}}m/s$，
擊球過程中運動員對排球做功W=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}×0.28×\frac{81}{0.4}J=28.35J$．
（2）①運動員將球水平擊出后，球做平拋運動，設球剛好擦網而過，水平射程s₁=3m，飛行時間${t}_{1}=\sqrt{\frac{2（{h}_{2}-{h}_{1}）}{g}}=\sqrt{\frac{2（2.5-2）}{10}}s=\frac{1}{\sqrt{10}}$s，
所以擊球的最小速度為${v}_{1}=\frac{{s}_{1}}{{t}_{1}}=\frac{3}{\frac{1}{\sqrt{10}}}m/s=3\sqrt{10}m/s$，
設球恰好打在對方底線邊界上，則水平射程s₂=3m+9m=12m，此過程中球飛行的時間為
${t}_{2}=\sqrt{\frac{2{h}_{2}}{g}}=\sqrt{\frac{2×2.5}{10}}s=\frac{1}{\sqrt{2}}s$，
所以擊球的最大速度${v}_{2}=\frac{{s}_{2}}{{t}_{2}}=\frac{12}{\frac{1}{\sqrt{2}}}m/s=12\sqrt{2}m/s$．
因此欲使球既不觸網也不出界，則球的初速度滿足$3\sqrt{10}m/s＜{v}_{0}＜12\sqrt{2}m/s$．
②設擊球的高度為h₂′時，球恰能擦網而過而不壓對方底線邊界，則對于球恰能擦網而過的情景有：
${v}_{1}=\frac{{s}_{1}}{{t}_{1}}=\frac{3}{\sqrt{\frac{2（h′-2）}{g}}}$，
而對于球恰能壓對方底線邊界的情景有：${v}_{2}=\frac{12}{\sqrt{\frac{2h′}{g}}}$，
若擊出球的速度v＜v₁，則觸網，若v＞v₂，則出界，所以必定存在v₁=v₂時球既不觸網又能壓對方底線邊界有：v₁=v₂，即${{v}_{1}}^{2}={{v}_{2}}^{2}$，
聯立上述三個方程可解得h′=2$\frac{2}{15}$m，即當$h′＜2\frac{2}{15}m$時，無論擊出球的速度v多大，球不是觸網，就是出界．
答：（1）擊球過程中對排球所做的功圍為28.35J．
（2）欲使球既不觸網也不出界，則球的初速度滿足$3\sqrt{10}m/s＜{v}_{0}＜12\sqrt{2}m/s$．
當$h′＜2\frac{2}{15}m$時，無論擊出球的速度v多大，球不是觸網，就是出界．

點評 本題考查平拋運動在生活中應用，要通過分析找出臨界條件，由平拋運動的規(guī)律即可求解．