Question

2．如圖所示，在x軸下方的區(qū)域內(nèi)存在+y方向的勻強電場，電場強度為E．在x軸上方以原點O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場的方向垂直于xoy平面向外，磁感應(yīng)強度為B．-y軸上的A點與O點的距離為d，一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點由靜止釋放，經(jīng)電場加速后從O點射入磁場，不計粒子的重力．
（1）求粒子在磁場中運動的軌道半徑r；
（2）要使粒子進人磁場之后不再經(jīng)過x軸，求電場強度的取值范圍；
（3）改變電場強度，使得粒子經(jīng)過x軸時與x軸成θ=30⁰的夾角，求此時粒子在磁場中的運動時間t及經(jīng)過x軸的位置坐標值x₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求得經(jīng)電場加速后粒子的速度，再根據(jù)洛倫茲力提供圓周運動向心力求得粒子圓周運動的軌道半徑；
（2）粒子進入磁場做圓周運動，要使粒子不再經(jīng)過x軸，則粒子離開磁場時速度方向與x軸平行，由比計算分析求解電場強度的取值范圍；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求得粒子在磁場中圓周運動轉(zhuǎn)過的圓心角，再根據(jù)周期求得在磁場中的運動時間，由幾何關(guān)系求得粒子經(jīng)過x軸的位置坐標．

解答 解：（1）粒子在電場中加速，由動能定理得：$qEd=\frac{1}{2}m{v}^{2}$  ①
粒子進入磁場后做圓周運動，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$  ②
解得粒子在磁場中運動的半徑：r=$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$ ③
（2）設(shè)場強為E₀時，粒子離開磁場后恰好不再經(jīng)過x軸，則離開磁
場時的速度方向與x軸平行，運動情況如圖（甲），易得：

$R=\sqrt{2}r$          ④
由③、④式解得：${E}_{0}=\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$            
因此，場強的范圍：E≥E₀
即：$E≥\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$     ⑥
（3）粒子運動情況如圖（乙），由幾何關(guān)系可得：
α=120°                 ⑦
粒子在磁場中的運動周期為：$T=\frac{2πr}{v}$     ⑧
粒子在磁場中的運動周期為：t=$\frac{α}{360°}T$    ⑨
聯(lián)立②⑥⑦⑧可得：t=$\frac{2πm}{3qB}$             ⑩
由圖可得粒子經(jīng)過x軸時的位置橫坐標值為：x₀=2Rcos30°=$\sqrt{3}R$
答：（1）粒子在磁場中運動的軌道半徑r為$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$；
（2）要使粒子進人磁場之后不再經(jīng)過x軸，電場強度的取值范圍為$E≥\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（3）改變電場強度，使得粒子經(jīng)過x軸時與x軸成θ=30⁰的夾角，此時粒子在磁場中的運動時間t為$\frac{2πm}{3qB}$及經(jīng)過x軸的位置坐標值x₀為$\sqrt{3}R$．

點評 帶電粒子在磁場中運動時主要從洛倫茲力提供圓周運動向心力分析，根據(jù)粒子在磁場中運動的幾何關(guān)系確定半徑情況．