Question

【題目】如圖所示，光滑水平面左側(cè)固定一豎直彈性擋板，右側(cè)固定一內(nèi)壁光滑的豎直圓形軌道，軌道下端與地面相切于d點(diǎn)，且切點(diǎn)處略微錯(cuò)開(kāi)．水平軌道上a、b、c、d間的距離ab=bc=cd，P、Q兩物體之間壓縮一段輕彈簧（兩物體未與彈簧兩端連接），并通過(guò)一細(xì)線(xiàn)約束，靜止在b、c兩點(diǎn)，此時(shí)彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為Ep=10J．現(xiàn)剪斷細(xì)線(xiàn)，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)立即撤走彈簧，當(dāng)Q首次運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)時(shí)，P恰好追上Q，并與之發(fā)生碰撞，碰后粘在一起，接著進(jìn)入豎直平面的圓軌道．已知P的質(zhì)量mP=1 kg，P、Q兩物體均可以視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)P與左側(cè)豎直擋板碰撞的時(shí)間，P到達(dá)a前與Q到達(dá)d前彈簧已恢復(fù)原長(zhǎng)．求：

（1）物體Q的質(zhì)量；

（2）若P、Q兩物體碰后在圓形軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道，軌道半徑應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）4kg（2）R≥0.128m或R≤0.0512m

【解析】試題分析：釋放彈簧過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)后兩物體均做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律求出物體Q的質(zhì)量．由動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律求出P、Q的速度，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律求出PQ不脫離圓軌道的臨界半徑，然后答題．

試題分析：（1）釋放彈簧過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得： ，則，
兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間t相等，則，即，
彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)后兩物體均做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，則： ，
從剪斷細(xì)線(xiàn)到P追上Q過(guò)程， ，由題意可知： ，
則： ，解得；
（2）釋放彈簧過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得： ，
由機(jī)械能守恒定律得： ，解得，
P、Q碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得，解得： ；
①PQ恰好到達(dá)與O點(diǎn)等高處，由機(jī)械能守恒定律得： ，

解得：R=0.128m，要使P、Q不脫離軌道： ；
②P、Q恰好能夠通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)，
由動(dòng)能定理得，
從圓形軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過(guò)程，由機(jī)械化守恒定律得： ，

解得： ，
PQ不脫離圓軌道： ；

綜上所述若P、Q兩物體碰后在圓形軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道，軌道半徑應(yīng)該滿(mǎn)足的條件是或．