Question

11．如圖所示，傾角為α斜面體（斜面光滑且足夠長）固定水平地面上，斜面頂端與勁度系數(shù)為k、自然長度為l的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊，開始靜止于O點(diǎn)．壓縮彈簧使其長度為$\frac{1}{2}$l時(shí)將物塊由靜止開始釋放，重力加速度為g．
（1）證明物塊做簡諧運(yùn)動(dòng)，
（2）物塊振動(dòng)時(shí)最低點(diǎn)距O點(diǎn)距離A．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)物體所受的合力為零時(shí)，物體處于平衡位置，結(jié)合共點(diǎn)力平衡求出平衡位置時(shí)的彈簧伸長量，從而得出彈簧的長度．抓住x表示物塊相對于平衡位置的位移，根據(jù)牛頓第二定律推導(dǎo)回復(fù)力是否滿足F=-kx．
（2）根據(jù)初始位置和平衡位置之間的距離得出振幅的大小，結(jié)合對稱性求出最低點(diǎn)距O點(diǎn)距離A．

解答 解：（1）設(shè)物塊在斜面上平衡時(shí)，彈簧伸長量為△L，有：
mgsina-k△L=0
解得：$△L=\frac{mgsinα}{k}$．
此時(shí)彈簧的長度為$l+\frac{mgsinα}{k}$．
當(dāng)物塊的位移為x時(shí)，彈簧伸長量為x+△L，物塊所受合力為：
F_合=mgsinα-k（x+△L）
聯(lián)立以上各式可得：F_合=-kx
可知物塊作簡諧運(yùn)動(dòng)．
（2）物塊作簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅為：$A=\frac{L}{4}+\frac{mgsina}{k}$
在平衡位置知，彈簧的伸長量為：$△L=\frac{mgsinα}{k}$．
由對稱性可知，最大伸長量為$\frac{L}{4}+\frac{2mgsina}{k}$．
即物塊振動(dòng)時(shí)最低點(diǎn)距O點(diǎn)距離A為$\frac{L}{4}+\frac{2mgsina}{k}$
答：（1）證明如上所示．
（2）彈簧的最大伸長量為$\frac{L}{4}+\frac{2mgsina}{k}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律和胡克定律的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是理清過程，確定出平衡位置，得出振幅的大小是解決本題的關(guān)鍵．