Question

（15分）一半徑為的水平光滑圓桌面，圓心為，有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線，如圖所示。一根不可伸長(zhǎng)的柔軟的細(xì)輕繩，一端固定在封閉曲線上的某一點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量的小物塊。將小物塊放在桌面上并把繩拉直，再給小物塊一個(gè)方向與繩垂直、大小為的初速度。物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩將纏繞在立柱上。已知當(dāng)繩的張力為時(shí)，繩即斷開(kāi)，在繩斷開(kāi)前物塊始終在桌面上運(yùn)動(dòng)．

1．問(wèn)繩剛要斷開(kāi)時(shí)，繩的伸直部分的長(zhǎng)度為多少?

2．若繩剛要斷開(kāi)時(shí)，桌面圓心到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點(diǎn)的連線正好與繩的伸直部分垂直，問(wèn)物塊的落地點(diǎn)到桌面圓心的水平距離為多少？已知桌面高度．物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)未與立柱相碰．取重力加速度大小為。

Answer 1

解析：

1．因桌面是光滑的，輕繩是不可伸長(zhǎng)的和柔軟的，且在斷開(kāi)前繩都是被拉緊的，故在繩斷開(kāi)前，物塊在沿桌面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，其速度始終與繩垂直，繩的張力對(duì)物塊不做功，物塊速度的大小保持不變。設(shè)在繩剛要斷開(kāi)時(shí)繩的伸直部分的長(zhǎng)度為，若此時(shí)物塊速度的大小為，則有

                                          （1）

繩對(duì)物塊的拉力僅改變物塊速度的方向，是作用于物塊的向心力，故有

                                   （2）

由此得

                                           （3）

代入數(shù)據(jù)得                                 （4）

2. 設(shè)在繩剛要斷開(kāi)時(shí)，物塊位于桌面上的點(diǎn)，是繩的伸直部分，物塊速度的方向如圖所示．由題意可知，．因物塊離開(kāi)桌面時(shí)的速度仍為，物塊離開(kāi)桌面后便做初速度為的平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為，則有

                      （5）

物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程為

                        （6）

由幾何關(guān)系，物塊落地地點(diǎn)與桌面圓心的水平距離為

                                （7）

解（5）、（6）、（7）式，得

                            (8)

代入數(shù)據(jù)得