Question

4．如圖所示，一豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道ABC，B點為最低點，O為圓心，軌道半徑R=0.3m，OA連線與OB夾角θ=60°．現(xiàn)有一個質(zhì)量m=0.6kg的小球（可視為質(zhì)點）以某一初速度從P點水平拋出，恰好從圓弧軌道的A點沿切線方向進入（不計空氣阻力），小球到達A點時的速度v=4m/s（取g=10m/s²，結(jié)果可保留根號），求：
（1）小球做平拋運動的初速度v₀的大�。�
（2）P點與A點的水平距離和豎直高度；
（3）小球到達圓弧最高點C時對軌道的作用力．

Answer 1

分析 （1）小球從P到A做平拋運動，小球恰好從光滑圓弧軌道的A點的切線方向進入圓弧，說明小球到A點的速度v_A方向與水平方向的夾角為θ，根據(jù)速度的分解法可以求出初速度v₀；
（2）平拋運動水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，根據(jù)平拋運動的基本規(guī)律求出P點與A點的水平距離和豎直距離；
（3）研究A到C的過程，由動能定理求出小球經(jīng)過C點的速度，在C點，由向心力公式可求得支持力大小，從而得到小球?qū)�軌道的壓力大小�?/p>

解答 解：（1）由平拋運動的特點，小球在水平方向上做勻速直線運動，在A點，小球速度的偏轉(zhuǎn)角為θ=60°，即：
$\frac{v_0}{v}=cos60°$
解得：v₀=2m/s
（2）由平拋運動的特點，小球在豎直方向上做自由落體運動，則有：
${v_y}=vsin60°=4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}m/s$
v_y=gt
則有：$t=\frac{{\sqrt{3}}}{5}s$
所以，P點與A點的豎直高度為：$h=\frac{v_y^2}{2g}=\frac{12}{20}=0.6m$
水平距離為：$x={v_0}t=2×\frac{{\sqrt{3}}}{5}=\frac{2}{5}\sqrt{3}m$≈0.69m
（3）小球從A到B再到C的過程，由動能定理得：
$-mg（R+Rcos60°）=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_A^2$
解得：${v_C}=\sqrt{7}m/s$
在C點，由牛頓第二定律得：
${F_N}+mg=m\frac{v_C^2}{R}$
解得：F_N=8N
由牛頓第三定律得，小球?qū)�軌道的作用力為�?{F_N}^′={F_N}=8N$，方向豎直向上
答：（1）小球做平拋運動的初速度為2m/s；
（2）P點與A點的水平距離為0.69m，豎直高度為0.6m；
（3）小球到達圓弧最高點C時，對軌道的壓力為8N，方向豎直向上．

點評 本題是平拋運動和圓周運動相結(jié)合的典型題目，除了運用平拋運動和圓周運動的基本公式外，求速度的問題，動能定理不失為一種好的方法．當然也可以根據(jù)機械能守恒定律求C點的速度．