Question

11．如圖所示，固定在地面上豎直放置的管狀軌道由玻璃燒制而成，內(nèi)壁光滑．軌道AB部分呈直線狀，與地面的夾角為45°．BCDE部分是一段圓弧，O是圓弧的圓心，圓弧半徑R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，∠BOD=90°，∠BOE=∠DOE=135°，C是圓弧與地面的切點(diǎn)，B是兩段軌道的切點(diǎn)，E在O點(diǎn)正上方，軌道圓弧部分處在正交的電磁場(chǎng)中，直線MN是電磁場(chǎng)的左邊界．勻強(qiáng)電場(chǎng)E的方向豎直向上，大小未知，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T．將一帶正電小球從軌道AB上某位置無初速度釋放，以v=2m/s的速度進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)．由于受軌道約束，小球在圓弧軌道內(nèi)部做勻速固周運(yùn)動(dòng)，最后從軌道上最高點(diǎn)E脫離軌道．已知小球質(zhì)量m=2×10^-4kg，帶電量為q=1.0×10^-3C，軌道的截面是個(gè)圓，直徑和小球直徑相等，管壁厚度和小球半徑不計(jì)，g取10m/s²，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）小球在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（小球離開電磁場(chǎng)后就不再進(jìn)入）；
（3）小球從直線軌道上的什么位置釋放，小球不會(huì)離開電磁場(chǎng)．

Answer 1

分析 （1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球的重力與電場(chǎng)力的合力為零，據(jù)此求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）根據(jù)小球在管道中做圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過的圓心角與小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期求出在管道中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出小球離開管道后的在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）小球離開管道后會(huì)在電磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，求出小球恰好不離開電磁場(chǎng)的臨界軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出小球的速度，最后應(yīng)用動(dòng)能定理求出小球釋放點(diǎn)的高度．

解答 解：（1）小球在圓弧軌道內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則重力與電場(chǎng)力合力為零，
即：mg=qE，解得，電場(chǎng)強(qiáng)度：E=2N/C；
（2）小球在圓弧軌道中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{{\sqrt{2}π}}{2}s$，
小球在圓弧軌道中轉(zhuǎn)過的圓心角為135°+90°=225°，
小球在圓弧軌道中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t_1}=\frac{225°}{360°}T=\frac{{5\sqrt{2}π}}{16}s$，
小球離開圓弧軌道后在電磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：r=1m，$sinθ=\frac{Rsin45°}{r}=\frac{1}{2}$，θ=30°，
小球在電磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T′=\frac{2πr}{v}=π$，
小球離開E后在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t_2}=\frac{θ}{360°}T′=\frac{π}{12}$，
小球在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：$t={t_1}+{t_2}=\frac{{15\sqrt{2}π+4π}}{48}s≈1.65s$；
（3）E點(diǎn)到MN的水平距離：d=Rsin45°=0.5m，
小球離開E后在電磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)小球的軌道半徑：r′≤d=0.5m時(shí)小球不會(huì)離開電磁場(chǎng)，
由牛頓第二定律得：$qv′B=m\frac{{v{′^2}}}{r′}$，解得：v′=1m/s，
對(duì)小球，由動(dòng)能定理得：$mgh=\frac{1}{2}mv{′^2}-0$，
解得：h=0.05m=5cm，小球釋放點(diǎn)到B的高度應(yīng)小于等于5cm；
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為2N/C；
（2）小球在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1.65s；
（3）小球從直線軌道上距離B點(diǎn)的高度小于等于5cm處釋放，小球不會(huì)離開電磁場(chǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電小球在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，知道小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件、分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過程、作出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以解題．