Question

宇航員在月球表面完成下面的實驗：在一固定的豎直光滑圓軌道內部最低點靜止一個質量為m的小球(可視為質點)，如圖所示.當給小球一瞬間的速度v時，剛好能使小球在豎直平面內做完整的圓周運動，已知圓弧的軌道半徑為r，月球的半徑為R₁，引力常量為G.求：

(1)若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，所需最小發(fā)射速度為多大？
(2)軌道半徑為2R₁的環(huán)月衛(wèi)星周期為多大？

Answer 1

（1）（2）4π/v.

解析試題分析：（1）設月球表面的重力加速度為g₁，小球在最高點的速度為v₁，小球從最低點到最高點的過程中機械能守恒，有：
  （2 分）
小球剛好做完整的圓周運動，在最高點有：
 （2 分）
由以上兩式可得：  （1 分）
若在月球表面發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，則重力必須提供向心力，則有： （1 分）
故最小發(fā)射速度：
v₂== =v.      1 分
(2)若衛(wèi)星在半徑為2R₁的軌道上，
GMm/(2R₁)²=m·2R4π²/T²      2 分
其中g₁=GM/R²=v²/5r
由以上幾式可得：T=4π/v.       2 分
考點：本題考查萬有引力定律和圓周運動的臨界條件。