Question

10．A、B兩個質點沿直線同時從甲處向乙處運動，A以v_A=3m/s的速度做勻速直線運動，B做初速度為零，加速度a_B=3m/s²的勻加速運動．當B與A在途中相遇時，B即改做加速度a_B′=-2m/s²的勻減速直線運動，求：
（1）在B減至速度為零之前，A、B質點在途中何時相距最遠，最遠距離為多少？
（2）A、B能否會第二次相遇？若能二次相遇，何時相遇？此時B的速度多大？

Answer 1

分析 （1）開始過程，B追趕A，當兩者速度相等時相距最遠，當兩者第一次相遇后，改為A追趕B，當兩者速度相等時，再次相距最遠，比較這兩次的數(shù)值即可求解；
（2）因為B做減速運動，故A、B一定會再次相遇，設二次相遇的時間，根據(jù)運動學基本公式結合位移關系求解．

解答 解：（1）由于B做初速度為零的勻加速運動，而A做勻速運動，在開始一段時間內，由于v_A＞v_B，所以A、B之間的間距一直在增大；當v_A=v_B時，兩者相距最遠；之后當v_A＜v_B時，兩者間距逐漸減�。�
設第一次相距最遠時，時間為t₁，當v_A=v_B時，即a_Bt₁=v_A得：t₁=1s，
此時A、B間距離為$△x={v}_{A}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{B}{{t}_{1}}^{2}=3×1-\frac{1}{2}×3×1=1.5m$．
由相遇條件x_A=x_B，有${v}_{A}{t}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{B}{{t}_{2}}^{2}$，得t₂=2s，此時B的速度v_B=a_Bt₂=3×2=6m/s
當兩者第一次相遇后，改為A追趕B，當兩者速度相等時，再次相距最遠，設從相遇到速度再次相等用時t₃，則：${t}_{3}=\frac{{v}_{B}-{v}_{A}}{{a}_{B}′}=\frac{6-3}{2}$s=1.5s
此時兩者相距：s′=${v}_{B}{t}_{3}-\frac{1}{2}{a}_{B}′{{t}_{3}}^{2}$-v_At₃=6×1.5-0.5×2×1.5²-3×1.5m=2.25m
由于s′＞s
從出發(fā)所需時間：T=t₂+t₃=2=1.5=3.5s
比較A、B間的最遠距離可知，第二次速度相等時兩者相距最遠，即3.5s時A、B相距2.25m．
（2）因為B做減速運動，故A、B一定會再次相遇．
設二次相遇時間為t₄，則相遇時x_A′=x_B′，即${v}_{B}（{t}_{4}-{t}_{2}）-\frac{1}{2}{a}_{B}′（{t}_{4}-{t}_{2}）^{2}={v}_{A}（{t}_{4}-{t}_{2}）$
解得t₄=5s．
而設B全程的停止時間為t₀，由勻減速運動的規(guī)律可知：0=v_B-a_B′（t₀-2），解得t₀=5s．
由t₄=t₀可知，第二次相遇時B的速度恰好為零，即v_B′=0．
答：（1）在B減至速度為零之前，A、B質點在途中經(jīng)過3.5s時相距最遠，最遠距離為2.25m；
（2）A、B能第二次相遇，經(jīng)過5s相遇，此時B的速度為0．

點評 解決本題的關鍵知道兩者速度相等時，兩者相距最遠，兩者位移之差就是相距的位移，難度適中．