Question

9．在如圖所示的坐標(biāo)系中，在y＞0的空間中存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)沿y軸負(fù)方向；在y＜0的空間中存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直xOy平面（紙面）向外，一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電的運(yùn)動(dòng)粒子，經(jīng)過(guò)y軸上y=h處的點(diǎn)P₁時(shí)速為v₀，方向沿x軸正方向；然后，經(jīng)過(guò)x軸上x=1.5h處的P₂；點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力，求：
（1）粒子到達(dá)P₂時(shí)速度的大小和方向；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（3）若在y軸的負(fù)半軸上D（0，-1.5h）處固定一個(gè)與x軸平行的足夠長(zhǎng)的彈性絕緣擋板（粒子與其相碰時(shí)電量不變，原速度反彈），粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好能垂直撞擊在擋板上，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多大，并求粒子從P₁出發(fā)到第2次與擋板作用所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出粒子的速度大小與方向．
（2）電場(chǎng)力對(duì)粒子做功，應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子的軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；求出粒子在磁場(chǎng)與在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
在水平方向：1.5h=v₀t，
在豎直方向：h=$\frac{0+{v}_{y}}{2}$t，
解得：v_y=$\frac{4}{3}$v₀，
粒子的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{5}{3}$v₀，
方向：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{4}{3}$，
解得：θ=53°，速度方向與水平方向夾53°角；
（2）電場(chǎng)對(duì)粒子做正功，由動(dòng)能定理得：
qEh=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：E=$\frac{8m{v}_{0}^{2}}{9qh}$；
（3）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)得：Rsin37°=1.5h，解得，粒子軌道半徑：R=2.5h，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{3qh}$；
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子第2次與擋板相碰時(shí)，粒子在電場(chǎng)中做了3個(gè)類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做了3段圓弧的圓周運(yùn)動(dòng)，
粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=3×$\frac{1.5h}{{v}_{0}}$=$\frac{9h}{2{v}_{0}}$，
粒子在磁場(chǎng)中的總偏轉(zhuǎn)角：α=3×37°=111°，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{3πh}{{v}_{0}}$，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{37πh}{40{v}_{0}}$，
粒子從P₁出發(fā)到第2次與擋板作用所經(jīng)歷的時(shí)間：
t=t₁+t₂=$\frac{（180+37π）h}{40{v}_{0}}$；
答：（1）粒子到達(dá)P₂時(shí)速度的大小為：$\frac{5}{3}$v₀，方向與水平方向夾53°角斜向右下；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\frac{8m{v}_{0}^{2}}{9qh}$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為：$\frac{2m{v}_{0}}{3qh}$，粒子從P₁出發(fā)到第2次與擋板作用所經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{（180+37π）h}{40{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、動(dòng)能定理與牛頓第二定律可以解題．