Question

4．如圖所示，空間存在豎直向下的有界勻強磁場B，一單匝邊長為L，質量為m的正方形線框abcd放在水平桌面上，在水平外力作用下從左邊界以速度v勻速進入磁場，當cd邊剛好進入磁場后立刻撤去外力，線框ab邊恰好到達磁場的右邊界，然后將線框以ab邊為軸，以角速度ω勻速翻轉到圖示虛線位置．已知線框與桌面間動摩擦因數為μ，磁場寬度大于L，線框電阻為R，重力加速度為g，求：
（1）當ab邊剛進入磁場時，ab兩端的電壓U_ab；
（2）水平拉力F的大小和磁場的寬度d；
（3）勻速翻轉過程中線框產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）ab邊相當于電源，根據切割公式求解感應電動勢，根據閉合電路歐姆定律求解ab兩端的電壓U_ab；
（2）根據安培力公式求解安培力，根據平衡條件求解拉力；根據運動學公式求解磁場的寬度d；
（3）勻速進入磁場過程是恒定電流，根據焦耳定律求解焦耳熱；根據功能關系求解摩擦產生的熱量；最后翻轉過程是正弦式交流電，先根據E_m=NBSω求解最大值，得到有效值，最后根據焦耳定律求解熱量Q．

解答 解：（1）ab邊相當于電源，根據切割公式，有：
 E=BLv                                                    
根據閉合電路歐姆定律，有：
 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$                                                     
根據歐姆定律，有：
 U_ab=I×$\frac{3}{4}$R=$\frac{3}{4}$BLv                                               
（2）根據平衡條件，有：
 F=F_A+μmg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$+μmg
撤去拉力后，線框勻減速運動，加速度為-μg，根據速度位移關系公式，有：
 x₁=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$
所以：d=L+$\frac{{v}^{2}}{2μg}$                                                
（3）
線框在繞ab軸翻轉過程中，E_m=BL²ω，有效值：
 E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BL²ω
時間 t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2ω}$
產生焦耳熱：
 Q=I²Rt=$\frac{{E}^{2}}{R}$t=$\frac{π{B}^{2}{L}^{4}ω}{4R}$；
答：
（1）當ab邊剛進入磁場時，ab兩端的電壓U_ab為$\frac{3}{4}$BLv；
（2）水平拉力F的大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$+μmg，磁場的寬度d為L+$\frac{{v}^{2}}{2μg}$；
（3）整個過程中產生的總熱量Q為$\frac{π{B}^{2}{L}^{4}ω}{4R}$；

點評 本題關鍵是將線框的運動過程分為勻速、勻減速、轉動三個過程進行分析，注意最后的翻轉過程是正弦式交流電．