Question

14．質(zhì)量m=1噸的汽車通過圓形拱形橋時(shí)的速率恒定，拱形橋的半徑R=5m．試求：
（1）汽車在最高點(diǎn)對拱形橋的壓力為車重的一半時(shí)汽車的速度；
（2）汽車在最高點(diǎn)對拱形橋的壓力為零時(shí)汽車的速度．

Answer 1

分析 （1）在拱形橋最高點(diǎn)，根據(jù)重力和橋面的支持力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式，求出汽車的速度．
（2）汽車在最高點(diǎn)對拱形橋的壓力為零時(shí)，僅靠重力提供向心力，再根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式，求出汽車的速度．

解答 解：（1）汽車在最高點(diǎn)時(shí)，豎直方向受重力和支持力，其合力提供向心力，由向心力公式得：
 mg-N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由題意有：N=0.5mg
聯(lián)立得：$\frac{1}{2}$mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$=$\sqrt{\frac{1}{2}×10×5}$m/s=5m/s
（2）汽車在最高點(diǎn)對拱形橋的壓力為零時(shí)，汽車在豎直方向只受重力，由重力提供向心力，由向心力公式得：
 mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×5}$m/s=5$\sqrt{2}$m/s
答：（1）汽車在最高點(diǎn)對拱形橋的壓力為自身車重一半時(shí)，汽車的速度是5m/s．
（2）汽車在最高點(diǎn)對拱形橋的壓力為零時(shí)，汽車的速度是5$\sqrt{2}$m/s

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道汽車過拱橋時(shí)，在最高點(diǎn)，靠重力和支持力的合力提供向心力，若支持力為0，由重力提供向心力．