Question

1．如圖所示，在x軸上方有垂直于xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；在x軸下方有一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E，一質(zhì)量為m，電量為-q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)向射出，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間粒子到達(dá)x軸上的A點(diǎn)，A點(diǎn)與點(diǎn)O的距離為L(zhǎng)．若不計(jì)重力．求
（1）此粒子射出時(shí)的速度v；
（2）要求粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，則粒子的速度多大？在電場(chǎng)中向y軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)的最大距離為多少？
（3）求在問(wèn)題（2）中的粒子運(yùn)動(dòng)的總路程和總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中勻變速直線運(yùn)動(dòng)，速度減為0，返回磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)半圈再進(jìn)入電場(chǎng)，然后再返回進(jìn)入磁場(chǎng)，考慮周期性，L是直徑的整數(shù)倍，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式結(jié)合幾何關(guān)系求出半徑，即可求出速度
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，即在磁場(chǎng)中只運(yùn)動(dòng)半周即到A點(diǎn)，根據(jù)半徑公式求出速度，在電場(chǎng)中根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的最大距離
（3）分別求出粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程和時(shí)間

解答 解：（1）帶負(fù)電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力有$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得$R=\frac{mv}{qB}$①
根據(jù)幾何關(guān)系有L=n（2R）  （n=1、2、3…）②
聯(lián)立①②得$v=\frac{qBL}{2mn}$（n=1、2、3…）
（2）若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，則L=2R，即$R=\frac{L}{2}$
由半徑公式得$\frac{L}{2}=\frac{m{v}_{max}^{\;}}{qB}$
解得${v}_{max}^{\;}=\frac{qBL}{2m}$
在電場(chǎng)中，根據(jù)牛頓第二定律qE=ma
解得$a=\frac{qE}{m}$
在電場(chǎng)中向y軸負(fù)方向的最大距離${y}_{max}^{\;}=\frac{{v}_{max}^{2}}{2a}=\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{8mE}$
（3）粒子在電場(chǎng)中${S}_{1}^{\;}=2{y}_{max}^{\;}=\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{4mE}$
粒子在磁場(chǎng)中${S}_{2}^{\;}=πR=\frac{πL}{2}$
${S}_{總}(cāng)^{\;}={S}_{1}^{\;}+{S}_{2}^{\;}=\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{4mE}+\frac{πL}{2}$
在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{1}^{\;}=\frac{2{v}_{max}^{\;}}{a}=\frac{{q}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{8{E}_{\;}^{2}}$
在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}^{\;}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$
總時(shí)間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{{q}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{8{E}_{\;}^{2}}+\frac{πm}{qB}$
答：（1）此粒子射出時(shí)的速度v為$\frac{qBL}{2mn}（n=1、2、3…）$；
（2）要求粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，則粒子的速度為$\frac{qBL}{2m}$，在電場(chǎng)中向y軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)的最大距離為$\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{8mE}$
（3）在問(wèn)題（2）中的粒子運(yùn)動(dòng)的總路程（$\frac{q{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{4mE}+\frac{πL}{2}$）和總時(shí)間（$\frac{{q}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{8{E}_{\;}^{2}}+\frac{πm}{qB}$）．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中的題目關(guān)鍵在于明確圓心和半徑，注意要根據(jù)題意找出合理的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，從而得出正確的結(jié)論．