Question

18．如圖，MNP為豎直面內一固定圓弧軌道，其$\frac{1}{4}$圓弧段MN與水平段NP相切與N，P端固定一豎直擋板．M相對于N的高度為h，NP長度為s．一質量為m的木塊自M端從靜止開始沿軌道下滑，與擋板發(fā)生一次完全彈性碰撞（碰撞中無能量損失）后停止在水平軌道上某處．若在MN段的摩擦可以忽略不計，物塊與NP段軌道間的滑動摩擦因數為μ，求：
（1）木塊第一次過N點時對N點的壓力
（2）木塊與豎直擋板碰撞前瞬時的速度
（3）物塊停止的位置與N點距離．

Answer 1

分析 （1）第一次從靜止開始下滑到N點過程中機械能守恒，求出到達N的速度，由重力和N點對木塊的支持力的合力充當向心力求出木塊第一次過N點時對N點的壓力．
（2）在NP段由摩擦力做負功使木塊的動能減小，由動能定理求出木板與豎直擋板碰撞前瞬時速度．
（3）對物體運動過程進行分析，選擇某一過程利用功能關系進行研究，能列出等式求未知量．

解答 解：（1）設物體過N點時的速度為v_N，木塊第一次過N點時對N點的壓力大小為F_N
則由機械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}$
到達N點時，由圓周運動得：$\frac{m{{v}_{N}}^{2}}{h}$=F_N-mg
聯立以上兩式得：${v}_{N}=\sqrt{2gh}$，F_N=3mg
（2）木塊在NP段運動時所受摩擦力：f=μmg
設木塊與豎直擋板碰撞前瞬時的速度為v_P
由動能定理：$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}-μmgs$
解得：v_P=$\sqrt{2gh-2μgs}$
（3）根據功能原理，在物塊從開始下滑到停止在水平軌道上的過程中，物塊的重力勢能的減少△E_P與物塊克服摩擦力所做功的數值相等．
△E_P=W_f-----①
設物塊的質量為m，在水平軌道上滑行的總路程為s′，
則△E_P=mgh-----②，
W_f=μmgs′--------③
連立①②③化簡得：s′=$\frac{h}{μ}$
第一種可能是：物塊與彈性擋板碰撞后，在到達N前停止，
則物塊停止的位置距N的距離為：d=2s-s′=2s-$\frac{h}{μ}$
第二種可能是：物塊與彈性擋板碰撞后，可再一次滑上光滑圓弧軌道，滑下后在水平軌道上停止，
則物塊停止的位置距N的距離為：d₁=s′-2s=$\frac{h}{μ}-2s$
答：（1）木塊第一次過N點時對N點的壓力為3mg；
（2）木塊與豎直擋板碰撞前瞬時的速度為$\sqrt{2gh-2μgs}$；
（3）物塊停止的位置與N點距離可能為（2s-$\frac{h}{μ}$）或者（$\frac{h}{μ}-2s$）．

點評 根據題意要能考慮到物體運動可能經歷的過程，利用功能關系得出水平軌道上滑行的總路程．