Question

13．如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)光滑的半圓形固定導(dǎo)軌在B點(diǎn)相切，半圓形導(dǎo)軌的半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右的速度后脫離彈簧，當(dāng)它經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌的瞬時(shí)對(duì)軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運(yùn)動(dòng)到最當(dāng)它經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌的瞬間對(duì)軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運(yùn)動(dòng)恰能到達(dá)最高點(diǎn)C．不計(jì)空氣阻力．
試求：
（1）物體經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速率；
（2）物體在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢能；
（3）物體到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能．

Answer 1

分析 （1）物體經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得出B點(diǎn)的速度．
（2）結(jié)合能量守恒定律求出物體在A點(diǎn)時(shí)的彈簧的彈性勢能．
（3）物體恰好通過最高點(diǎn)C，根據(jù)牛頓第二定律求出C點(diǎn)的速度，從而得到C點(diǎn)的動(dòng)能．

解答 解：（1）設(shè)物體在B點(diǎn)的速度為v_B，軌道對(duì)物體的支持力大小為F_N．
則有：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
據(jù)題可得，F(xiàn)_N=8mg
解得 v_B=$\sqrt{7gR}$
（2）由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律可知，物體在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢能為：
   E_p=$\frac{1}{2}$mv_B²=3.5mgR．
（3）設(shè)物體在C點(diǎn)的速度為v_C，由題意可知：
   mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
物體到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能 E_kC=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立可得，E_kC=$\frac{1}{2}$mgR
答：
（1）物體經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速率是$\sqrt{7gR}$；
（2）物體在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢能是3.5mgR；
（3）物體到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能是$\frac{1}{2}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓第二定律和能量守恒定律的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵要知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源：指向圓心的合力．