Question

13．如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內光滑的半圓形固定導軌在B點相切，半圓形導軌的半徑為R．一個質量為m的物體將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右的速度后脫離彈簧，當它經(jīng)過B點進入導軌的瞬時對軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運動到最當它經(jīng)過B點進入導軌的瞬間對軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運動恰能到達最高點C．不計空氣阻力．
試求：
（1）物體經(jīng)過B點時的速率；
（2）物體在A點時彈簧的彈性勢能；
（3）物體到達C點時的動能．

Answer 1

分析 （1）物體經(jīng)過B點時，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得出B點的速度．
（2）結合能量守恒定律求出物體在A點時的彈簧的彈性勢能．
（3）物體恰好通過最高點C，根據(jù)牛頓第二定律求出C點的速度，從而得到C點的動能．

解答 解：（1）設物體在B點的速度為v_B，軌道對物體的支持力大小為F_N．
則有：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
據(jù)題可得，F(xiàn)_N=8mg
解得 v_B=$\sqrt{7gR}$
（2）由能量轉化與守恒定律可知，物體在A點時彈簧的彈性勢能為：
   E_p=$\frac{1}{2}$mv_B²=3.5mgR．
（3）設物體在C點的速度為v_C，由題意可知：
   mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
物體到達C點時的動能 E_kC=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立可得，E_kC=$\frac{1}{2}$mgR
答：
（1）物體經(jīng)過B點時的速率是$\sqrt{7gR}$；
（2）物體在A點時彈簧的彈性勢能是3.5mgR；
（3）物體到達C點時的動能是$\frac{1}{2}$mgR．

點評 本題考查了牛頓第二定律和能量守恒定律的綜合運用，關鍵要知道圓周運動向心力的來源：指向圓心的合力．