Question

1．輕質(zhì)彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長度為l．現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示．物塊P與AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后放開，P開始沿軌道運(yùn)動，重力加速度大小為g．
（1）如果物塊P恰好能夠到達(dá)D點(diǎn)，則物塊的質(zhì)量為多少．
（2）如果P的質(zhì)量為m，其他條件不變，而導(dǎo)軌半徑R的大小不確定，則當(dāng)R為多大時(shí)，小球上升到最高點(diǎn)后落回水平面時(shí)，落地點(diǎn)與B點(diǎn)間距離最大．

Answer 1

分析 （1）先研究彈簧豎直的情況，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求出彈簧最大的彈性勢能．彈簧如圖放置時(shí)，由于彈簧的壓縮量等于豎直放置時(shí)的壓縮量，兩種情況彈簧的彈性勢能相等．物塊P恰好能夠到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出D點(diǎn)的速度．由能量守恒定律列式，可求出物體P的質(zhì)量．
（2）根據(jù)能量守恒定律求出物塊P到達(dá)D點(diǎn)的速度．由平拋運(yùn)動的規(guī)律得到落地點(diǎn)與B點(diǎn)間距離與R的關(guān)系式，再由數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）將彈簧豎直放置在地面上，物體下落壓縮彈簧時(shí)，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
E_p=5mgl
如圖，物塊P從彈簧釋放到D點(diǎn)的過程，根據(jù)能量守恒定律得：
E_p=μm_Pg•4l+$\frac{1}{2}{m}_{P}{v}_{D}^{2}$+2m_Pgl
物塊P恰好能夠到達(dá)D點(diǎn)，有：m_Pg=m_P$\frac{{v}_{D}^{2}}{l}$
聯(lián)立解得物塊的質(zhì)量為：m_P=$\frac{10}{9}$m
（2）如果P的質(zhì)量為m，物塊P從彈簧釋放到D點(diǎn)的過程，根據(jù)能量守恒定律得：
E_p=μmg•4l+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$+2mgR
根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
S=v_D′t
聯(lián)立可得，小球落地點(diǎn)與B點(diǎn)間距離為：S=2$\sqrt{2R（3l-2R）}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)2R=3l-2R，即 R=$\frac{3}{4}$l時(shí)，S有最大值．
答：（1）如果物塊P恰好能夠到達(dá)D點(diǎn)，則物塊的質(zhì)量為$\frac{10}{9}$m．
（2）當(dāng)R為$\frac{3}{4}$l時(shí)，小球上升到最高點(diǎn)后落回水平面時(shí)，落地點(diǎn)與B點(diǎn)間距離最大．

點(diǎn)評 解決本題時(shí)要抓住彈簧的形變量相等時(shí)彈性勢能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化，分段運(yùn)用能量守恒定律和平拋運(yùn)動的規(guī)律列式是關(guān)鍵．