Question

1．輕質(zhì)彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l．現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示．物塊P與AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后放開，P開始沿軌道運(yùn)動，重力加速度大小為g．
（1）如果物塊P恰好能夠到達(dá)D點(diǎn)，則物塊的質(zhì)量為多少．
（2）如果P的質(zhì)量為m，其他條件不變，而導(dǎo)軌半徑R的大小不確定，則當(dāng)R為多大時，小球上升到最高點(diǎn)后落回水平面時，落地點(diǎn)與B點(diǎn)間距離最大．

Answer 1

分析 （1）先研究彈簧豎直的情況，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求出彈簧最大的彈性勢能．彈簧如圖放置時，由于彈簧的壓縮量等于豎直放置時的壓縮量，兩種情況彈簧的彈性勢能相等．物塊P恰好能夠到達(dá)D點(diǎn)時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出D點(diǎn)的速度．由能量守恒定律列式，可求出物體P的質(zhì)量．
（2）根據(jù)能量守恒定律求出物塊P到達(dá)D點(diǎn)的速度．由平拋運(yùn)動的規(guī)律得到落地點(diǎn)與B點(diǎn)間距離與R的關(guān)系式，再由數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）將彈簧豎直放置在地面上，物體下落壓縮彈簧時，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
E_p=5mgl
如圖，物塊P從彈簧釋放到D點(diǎn)的過程，根據(jù)能量守恒定律得：
E_p=μm_Pg•4l+$\frac{1}{2}{m}_{P}{v}_{D}^{2}$+2m_Pgl
物塊P恰好能夠到達(dá)D點(diǎn)，有：m_Pg=m_P$\frac{{v}_{D}^{2}}{l}$
聯(lián)立解得物塊的質(zhì)量為：m_P=$\frac{10}{9}$m
（2）如果P的質(zhì)量為m，物塊P從彈簧釋放到D點(diǎn)的過程，根據(jù)能量守恒定律得：
E_p=μmg•4l+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$+2mgR
根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
S=v_D′t
聯(lián)立可得，小球落地點(diǎn)與B點(diǎn)間距離為：S=2$\sqrt{2R（3l-2R）}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)2R=3l-2R，即 R=$\frac{3}{4}$l時，S有最大值．
答：（1）如果物塊P恰好能夠到達(dá)D點(diǎn)，則物塊的質(zhì)量為$\frac{10}{9}$m．
（2）當(dāng)R為$\frac{3}{4}$l時，小球上升到最高點(diǎn)后落回水平面時，落地點(diǎn)與B點(diǎn)間距離最大．

點(diǎn)評 解決本題時要抓住彈簧的形變量相等時彈性勢能相等這一隱含的條件，正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化，分段運(yùn)用能量守恒定律和平拋運(yùn)動的規(guī)律列式是關(guān)鍵．