Question

7．兩顆人造衛(wèi)星A、B繞地球做圓周運動，周期之比為T_A：T_B=1：8，則軌道半徑之比和運動速率之比分別為（　　）

• A． R_A：R_B=4：1   V_A：V_B=1：2
• B． R_A：R_B=4：1    V_A：V_B=2：1
• C． R_A：R_B=1：4    V_A：V_B=2：1
• D． R_A：R_B=1：4    V_A：V_B=1：2

Answer 1

分析 根據(jù)人造衛(wèi)星的萬有引力等于向心力，列式求出線速度、角速度、周期和向心力的表達(dá)式進(jìn)行討論即可．

解答 解：人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m、軌道半徑為r、地球質(zhì)量為M，有
F=F_向
F=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$
F_向=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=m（$\frac{2π}{T}$）²r
因而
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=m（$\frac{2π}{T}$）²r=ma
解得
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$   ①
T=$\frac{2πr}{v}$=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$ ②
ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$   ③
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$     ④
由②式可得衛(wèi)星的運動周期與軌道半徑的立方的平方根成正比，由T_A：T_B=1：8可得軌道半徑R_A：R_B=1：4，然后再由①式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$得線速度v_A：v_B=2：1．
故選：C．

點評 本題關(guān)鍵抓住萬有引力提供向心力，列式求解出線速度、角速度、周期和向心力的表達(dá)式，再進(jìn)行討論．